数学分析摘要

实数的完备性

对于任何非空有上界的集合AA，其上界b的集合B含有最小元b′b'，也就是说，存在唯一的元素b′∈Bb'\in B使得：

1)b′b'是集合A的上界，即对于一切a∈Aa \in A，成立b≥ab\ge a;

2)b′b'是集合BB的最小元素，也就是说对于一切b′∈Bb'\in B,有b′≤bb'\le b.

元素b′b'叫做集合A的上确界(记作:b′=supAb'=supA).

同样的，对于有下界的集合AA，其下界的集合DD同样存在其下确界.

极限与数值计算

利用数列的极限存在一常数，可以迭代计算出该常数，下面举几个例子。

1. Heron迭代

xn+1=12(xn+axn)x_{n+1}={{1} \over {2}}\left(x_n+{a \over x_n}\right)

其中aa是正常数，x1x_1是任意的正数。由定理：

单调递减且有下界的数列有极限等于inf(an)inf(a_n).

得出

limn→∞xn+1=12(limn→∞xn+alimn→∞xn)
\lim_{n \to \infty }x_{n+1}={1 \over 2}\left(\lim_{n \to \infty}x_n+{{a}\over{\lim_{n \to \infty}x_n}}\right)

得到limn→∞xn=a√\lim_{n \to \infty}x_n=\sqrt{a}.

这种迭代方法的精彩之处在于，它对于初值不敏感，并且计算过程中出现的错误，也会在接下来的迭代过程中得到修正。

同时，我们还可以计算出迭代过程的收敛速度，从等式

xn+1±a√=(xn±a√)22xn,
x_{n+1}\pm\sqrt{a}={{(x_n \pm \sqrt{a})^2}\over{2x_n}},

得到

xn+1−a√xn+1+a√=(xn−a√xn+a√)2,
{{x_{n+1}- \sqrt{a}}\over{x_{n+1}+ \sqrt{a}}}=\left({{x_{n}- \sqrt{a}}\over{x_{n}+ \sqrt{a}}}\right)^2,

令x1−a√x1+a√=q{{x_{1}- \sqrt{a}}\over{x_{1}+ \sqrt{a}}}=q.\quad对于x1>0,有|q|<1x_1\gt0,有|q|\lt 1.然后得到

xn−a√xn+a√=q2n−1,
{{x_{n}- \sqrt{a}}\over{x_{n}+ \sqrt{a}}}=q^{2^{n-1}},

因此

xn=1+q2n−11−q2n−1a√,
x_n={{1+q^{2^{n-1}}}\over{1-q^{2^{n-1}}}}\sqrt{a},

收敛速度

Δn=xn−a√=2q2n−11−q2n−1a√
\Delta n=x_n-\sqrt{a}={{2q^{2^{n-1}}}\over{1-q^{2^{n-1}}}}\sqrt{a}

2. 开普勒方程

同样可以使用逐次迭代求解开普勒方程

x−asinx=y(0<a<1).
x-asinx=y\quad(0\lt a \lt 1).

令

x0=y,xn=y+asinxn−1.
x_0=y,x_n=y+asinx_{n-1}.

参考资料：数学分析讲义(第3版)




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