[BZOJ3694]最短路（并查集）

题目描述

传送门

题解

首先建出最短路径树，考虑对于每一条非树边(u,v)，令t=lca(u,v)，则u,v及以上的点、t以下的点都会由这条非树边多出一条路径。设disi为1～i的最短路径，那么对于每个u,v及以上的点、t以下的点，新增的这条路径的长度为disu+disv+len(u,v)-disx，又因为对于每一个x disx是恒定的，那么我们的目标就是求出能用来更新x的最小的非树边。

链剖的思路很显然，不过并查集也可以做。那么令每一条非树边的权值为disu+disv+len(u,v)-disx，排好序后一旦有一个点被更新了，就不会被其他的值更新，那么就可以记录一下每一个已经被更新过了的链顶，用并查集维护。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int max_n=4e3+5;
const int max_m=1e5+5;
const int max_e=max_m*2;

int n,m,a,b,l,t,cnt;
int tot,point[max_n],next[max_e],v[max_e],c[max_e];
int h[max_n],father[max_n],dis[max_n],f[max_n],belong[max_n];
struct hp{int x,y,l,len;}edge[max_m];

inline void add(int x,int y,int z){++tot;next[tot]=point[x];point[x]=tot;v[tot]=y;c[tot]=z;}
inline void dfs(int x,int fa,int dep){
h[x]=dep; father[x]=fa;
for (int i=point[x];i;i=next[i])
if (v[i]!=fa){
dis[v[i]]=dis[x]+c[i];
dfs(v[i],x,dep+1);
}
}
inline int cmp(hp a,hp b){return a.len<b.len;}
inline int find(int x){if (x==f[x]) return x;else return f[x]=find(f[x]);}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&l,&t);
if (t==1) add(a,b,l),add(b,a,l);
else edge[++cnt].x=a,edge[cnt].y=b,edge[cnt].l=l;
}
dfs(1,0,1);
for (int i=1;i<=cnt;++i) edge[i].len=edge[i].l+dis[edge[i].x]+dis[edge[i].y];
sort(edge+1,edge+cnt+1,cmp);
for (int i=1;i<=n;++i) f[i]=i;
for (int i=1;i<=cnt;++i){
int u=edge[i].x,t=edge[i].y,f1=find(u),f2=find(t),lastu=0,lastt=0;
while (f1!=f2){
if (h[f1]<h[f2]) swap(u,t),swap(f1,f2),swap(lastu,lastt);
if (!belong[u]){
belong[u]=i;
if (lastu) f[lastu]=u;
}
else if (lastu) f[lastu]=f1;
lastu=f1;u=father[lastu];f1=find(u);
}
}
if (belong[2]) printf("%d",edge[belong[2]].len-dis[2]); else printf("-1");
for (int i=3;i<=n;++i)
if (belong[i]) printf(" %d",edge[belong[i]].len-dis[i]);
else printf(" -1");
}

总结

“最短路”一定是树，不可能形成环。（想一想为什么？）