matlab 聚类

原网址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_62f3c4ef01014wz1.html

cited from:

cited from:http://hi.baidu.com/coralliu/blog/item/dbde033b168fedeb15cecbe5.html http://bbs.sciencenet.cn/blog-41996-450513.html
MATLAB的统计工具箱中的多元统计分析中提供了聚类分析的两种方法：

1.层次聚类 hierarchical clustering
2.K-均值聚类

层次聚类（hierarchical clustering）
这里用最简单的实例说明层次聚类原理和应用方法。
层次聚类是基于距离的聚类方法，MATLAB中通过pdist、linkage、dendrogram、cluster等函数来完成。
层次聚类的过程可以分这么几步：
(1) 确定对象（实际上就是数据集中的每个数据点）之间的相似性，实际上就是定义一个表征对象之间差异的距离，例如最简单的平面上点的聚类中，最经常使用的就是欧几里得距离。
这在MATLAB中可以通过Y=pdist（X）实现，例如

>> X=randn(6,2)

X =

    -0.4326     1.1892

    -1.6656    -0.0376

     0.1253     0.3273

     0.2877     0.1746

    -1.1465    -0.1867

     1.1909     0.7258

>> plot(X(:,1),X(:,2),'bo')    %给个图，将来对照聚类结果把




~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~图1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>> Y=pdist(X)

Y =

   Columns 1 through 14

     1.7394     1.0267     1.2442     1.5501     1.6883     1.8277     1.9648     0.5401    
2.9568     0.2228     1.3717     1.1377     1.4790     1.0581

   Column 15

     2.5092

例子中X数据集可以看作包含6个平面数据点，pdist之后的Y是一个行向量，15个元素分别代表X
的第1点与2-6点、第2点与3-6点,......这样的距离。那么对于M个点的数据集X，pdist之后的Y
将是具有M*(M-1)/2个元素的行向量。Y这样的显示虽然节省了内存空间，但对用户来说不是很易
懂，如果需要对这些距离进行特定操作的话，也不太好索引。MATLAB中可以用squareform把Y转
换成方阵形式，方阵中<i，j>位置的数值就是X中第i和第j点之间的距离，显然这个方阵应该是
个对角元素为0的对称阵。

>> squareform(Y)

ans =

          0     1.7394     1.0267     1.2442     1.5501     1.6883

     1.7394          0     1.8277     1.9648     0.5401     2.9568

     1.0267     1.8277          0     0.2228     1.3717     1.1377

     1.2442     1.9648     0.2228          0     1.4790     1.0581

     1.5501     0.5401     1.3717     1.4790          0     2.5092

     1.6883     2.9568     1.1377     1.0581     2.5092          0

这里需要注意的是，pdist可以使用多种参数，指定不同的距离算法。help pdist把。

另外，当数据规模很大时，可以想象pdist产生的Y占用内存将是很吓人的，比如X有10k个数据点
，那么X占10k*8*2Bytes=160K，这看起来不算啥，但是pdist后的Y会有10k*10k/2*8Bytes=400M
。怕了把，所以，废话说在前面，用MATLAB的层次聚类来处理大规模数据，大概是很不合适的。

(2) 确定好了对象间的差异度（距离）后，就可以用Z=linkage(Y)来产生层次聚类树了。

>> Z=linkage(Y)

Z =

     3.0000     4.0000     0.2228

     2.0000     5.0000     0.5401

     1.0000     7.0000     1.0267

     6.0000     9.0000     1.0581

     8.0000    10.0000     1.3717

对于M个元素的X，前面说了Y是1行M*(M-1)/2的行向量，Z则是(M-1)*3的矩阵。
Z数组的前两列是索引下标列，最后一列是距离列。例如上例中表示在产生聚类树的计算过程中
，第3和第4点先聚成一类，他们之间的距离是0.2228，以此类推。要注意的是，为了标记每一个
节点，需要给新产生的聚类也安排一个标识，MATLAB中会将新产生的聚类依次用M+1,M+2,....依
次来标识。比如第3和第4点聚成的类以后就用7来标识，第2和第5点聚成的类用8来标识，依次类
推。

 Z =LINKAGE(Y) creates a hierarchical cluster tree, using thesingle

    linkagealgorithm.  The input Y is a distance matrix suchas is

    generated byPDIST.  Y may also be a more general
dissimilarity
   matrix conforming to the output format of PDIST.
----------------------------------

相异度矩阵(DissimilarityMatrix)

  按n个数据对象两两间的相异度构建n阶矩阵（因为相异度矩阵是对称的，只需写出上三角或下三角即可）.其中d(i,j)表示数据对象i与j的相异度，是一个非负的数值。当对象i和j越相似或“接近”时，d(i,j)值越接近0；而对象i和j越不相同或相距“越远”时，d(i,j)值越大。
显然，d(i,j)=d(j,i)，d(i,i)=0。
----------------------------------
Cluster information will bereturned in the matrix Z with size m-1 by 3, where m is the numberof observations in the original data.

   Column 1 and 2 of Z contain clusterindices linked in pairs
   to form a binary tree. The leaf nodes are numbered from 1to
   m. They are the singleton clusters from which all higherclusters
   are built. Each newly-formed cluster, corresponding toZ(i,:), is

    assigned theindex m+i, where m is the total number of initial

    leaves.Z(i,1:2) contains theindices of the two component
   clusters which form cluster m+i. There are m-1 higherclusters

    whichcorrespond to the interior nodes of the output clustering

    tree.Z(i,3) contains thecorresponding linkage distances between
   the two clusters which are merged in Z(i,:), e.g. if thereare

    total of 30initial nodes, and at step 12, cluster 5 and cluster 7

    are combinedand their distance at this time is 1.5, then row 12

    of Z will be(5,7,1.5). The newly formed cluster will have an

    index12+30=42. If cluster 42 shows up in a latter row, that means

    this newlyformed cluster is being combined again into some bigger

   cluster.

通过linkage函数计算之后，实际上二叉树式的聚类已经完成了。Z这个数据数组不太好看，可以
用dendrogram(Z)来可视化聚类树。




 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~图2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
可以看到，产生的聚类树的每一层都是一个倒置的U型（或者说是个n型，~~），纵轴高度代表了
当前聚类中两个子节点之间的距离。横轴上标记出了各个数据点索引下标。

稍微注意以下的是，dendrogram默认最多画30个最底层节点，当然可是设置参数改变这个限制，
比如dendrogram(Z,0)就会把所有数据点索引下标都标出来，但对于成千上万的数据集合，这样
的结果必然是图形下方非常拥挤。看你的应用目的了，随你玩~
(3)初步的聚类树画完后，还要做很多后期工作的，包括这样的聚类是不是可靠，是不是代表了
实际的对象分化模式，对于具体的应用，应该怎样认识这个完全版的聚类树，产生具有较少分叉
的可供决策参考的分类结果呢？这都是需要考虑的。
MATLAB中提供了cluster, clusterdata, cophenet, inconsistent等相关函数。
cluster用于剪裁完全版的聚类树，产生具有一定cutoff的可用于参考的树。

clusterdata可以认为是pdist,linkage,cluster的综合，当然更简易一点。

cophenet和inconsistent用来计算某些系数，前者用于检验一定算法下产生的二叉聚类树和实际
情况的相符程度（就是检测二叉聚类树中各元素间的距离和pdist计算产生的实际的距离之间有
多大的相关性），inconsistent则是量化某个层次的聚类上的节点间的差异性（可用于作为
cluster的剪裁标准）。
后面这些的理解，大概需要对聚类有一个更深刻更数学的认识，我也不是很清楚，就不多说了。

K-均值聚类

K-means聚类算法采用的是将N*P的矩阵X划分为K个类，使得所有类内对象与该类中心点之间的距离和最小。

 
IDX = KMEANS(X, K) partitions the points in theN-by-P data matrix X

    into Kclusters.  This partition minimizes the sum, overall clusters, of

    thewithin-cluster sums of point-to-cluster-centroid distances.

方法描述：
Given a set of observations (x1,x2, …,
xn), where eachobservation is a d-dimensional real vector,
k-means clustering aims to partitionthe
n observations into
k sets (k
≤ n)
S = {S1, S2, …, Sk}so
as to minimize the within-cluster sum of squares(WCSS):


where μi is the mean of pointsin
Si.

In data mining, k-meansclustering is a method of cluster analysis which aims to partitionn observations into k clusters in which each observation belongs tothe cluster with the nearest mean. This results into apartitioning
of the data space into Voronoi cells.

The problem is computationally difficult (NP-hard), however thereare efficient heuristic algorithms that are commonly employed andconverge fast to a local optimum. These are usually similar to theexpectation-maximization algorithm for mixtures of Gaussiandistributions
via an iterative refinement approach employed by bothalgorithms. Additionally, they both use cluster centers to modelthe data, however k-means clustering tends to find clusters ofcomparable spatial extent, while the expectation-maximizationmechanism allows
clusters to have different shapes.

使用方法：

Idx=Kmeans(X,K)

[Idx,C]=Kmeans(X,K)

[Idx,C,sumD]=Kmeans(X,K)

[Idx,C,sumD,D]=Kmeans(X,K)

[…]=Kmeans(…,’Param1’,Val1,’Param2’,Val2,…)

各输入输出参数介绍：

X N*P的数据矩阵

K 表示将X划分为几类，为整数

Idx N*1的向量，存储的是每个点的聚类标号

C K*P的矩阵，存储的是K个聚类质心位置

sumD 1*K的和向量，存储的是类内所有点与该类质心点距离之和

D N*K的矩阵，存储的是每个点与所有质心的距离

[…]=Kmeans(…,'Param1',Val1,'Param2',Val2,…)

这其中的参数Param1、Param2等，主要可以设置为如下：

1. ‘Distance’(距离测度)

‘sqEuclidean’ 欧式距离（默认时，采用此距离方式）

‘cityblock’ 绝度误差和，又称：L1

‘cosine’ 针对向量

‘correlation’   针对有时序关系的值

‘Hamming’ 只针对二进制数据

2. ‘Start’（初始质心位置选择方法）

‘sample’ 从X中随机选取K个质心点

‘uniform’ 根据X的分布范围均匀的随机生成K个质心

‘cluster’ 初始聚类阶段随机选择10%的X的子样本（此方法初始使用’sample’方法）

matrix 提供一K*P的矩阵，作为初始质心位置集合

3. ‘Replicates’（聚类重复次数）  整数

             

使用案例：

X = [randn(100,2)+ones(100,2);...
    randn(100,2)-ones(100,2)]; 产生200个样本点，行指向每个样本，列是维变量值。

opts = statset('Display','final');

[idx,ctrs] =kmeans(X,2,'Distance','city','Replicates',5,'Options',opts);

for i1=1:length(X)

if idx(i1) == 1

   plot(X(i1,1),X(i1,2),'ro')

else

   plot(X(i1,1),X(i1,2),'ko')

end

end

plot(ctrs(:,1),ctrs(:,2),'rp','markersize',10)

结果如下图：




其中红色代表第一个类，黑色代表第二个类。红色五角星是两个类的中心