八皇后

八皇后问题

【题目要求】

求解如何在一个8*8的棋盘上无冲突地摆放8个皇后棋子。在国际象棋里，皇后的移动方式为横竖交叉的，

因此在任意一个皇后所在位置的水平、竖直，以及45°斜线上都不能出现皇后的棋子。



【题目分析】

如果一个一个的遍历运算时间会过长。

八皇后采用行（列）为单位，先去掉一个判断条件，一行（列）满足一个皇后，再进行判断一列（行）和对角线上是否有

之前定义的皇后，如果没有先将皇后定义到这，进行下一个皇后的安放，执行到8个皇后全都安放完或者执行到某行时没有安

放皇后的位置，就返回上一层，改变皇后的位置，继续往下一层执行，如果某行的位置列都执行过而下一行没有安放皇后的

位置，就继续往上一层返回（例：当执行到第5行时，先与前面的皇后位置进行判断，看皇后能放哪，选择第一个符合皇后的

位置，进行执行第6行，第6行从第1列开始判断，看能不能安放皇后，如果能则执行第7行，如果第6行都遍历过没有皇后的安

放位置，就返回第5行继续进行后面列是否有安放皇后的位置，如果有就重复上面的步骤，如果没有就返回第4行，依次遍历

所以符合某行符合前面皇后位置的所以点）。

【思想】：

回溯法：

当把问题分为若干步骤并递归求解时，如果当前步骤没有合法选择，则函数将返回一级递归调用，这就是回溯。不撞墙不回头的思想。

【易懂版】

【代码】：

#include<stdio.h>

int count=0;

int fun(int x,int y,int a[8][8])

{
int i,j,flag=0;
for(i=0;i<8;i++)
{
if(a[i][y]!=0)
{
flag=1;
break;
}

}
if(flag==1)
return 0;
for(i=x,j=y;i>=0&&j>=0;i--,j--)
{
if(a[i][j]!=0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag==1)
return 0;
for(i=x,j=y;i>=0&&j<8;i--,j++)
{
if(a[i][j]!=0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag==1)
return 0;
for(i=x,j=y;i<8&&j<8;i++,j++)
{
if(a[i][j]!=0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag==1)
return 0;
for(i=x,j=y;i<8&&j>=0;i++,j--)
{
if(a[i][j]!=0)
{
flag=1;
break;
}
}
if(flag==1)
return 0;
return 1;
}
void dfs(int x,int n,int a[8][8])
{
int i,j;
int a2[8][8];
/*for(i=0;i<8;i++)
for(j=0;j<8;j++)
a2[i][j]=a[i][j];*/
if(x==8)
{
printf("answer:%d\n",count);
for(i=0;i<8;i++)
{
for(j=0;j<8;j++)
printf("%d ",a[i][j]);
printf("\n");
}
// printf("\n\n");
count++;
return ;
}
for(j=0;j<8;j++)
{
if(fun(x,j,a))
{
for(i=0;i<8;i++)
a[x][i]=0;
a[x][j]=1;
dfs(x+1,n,a);
a[x][j]=0;
// 不清0会出错，当按照要求写入1时，写到第5行就会不成立，但是a[i][j]=1，没有被消去，if语句再也不成立
// 因为它是按最先符合要求的执行递归，每次都是最先执行符合要求的执行到第6行，就没有皇后的位置，
// 之前每一行都有 1 ，所以if语句始终不知道
}
}
}
int main()
{
int i,j,a[8][8];
for(i=0;i<8;i++)
for(j=0;j<8;j++)
a[i][j]=0;
dfs(0,8,a);
printf("%d\n",count);
return 0;
}

【代码分析】

定义了两个函数：

int型函数用于判断某个点的列或左上或右上或右下或左下是否有皇后，有返回0，没有返回1

void型函数用于递归运算，函数接收一个int型表示行，一个n表示n皇后，一个数组表示皇后图，函数里用for循环遍历此行所有的点，看是否有符合条件的点，有就标记此点，令此点值为1，递归执行下一行，没有返回上一层递归（递归语句后面要再将定义的1置0，你假设的此点能当皇后，无论找到或找不到8个皇后，都不再执行，因为你一行有多个皇后，判断下一行时，找符合皇后就更少了，到某一行就找不到符合的点，但是一行又多了几个皇后，重复进行，直到第一行遍历完结束。

【N皇后】

前面的也可以扩展为n皇后只需将8改为n，并加上一个输入语句就行了

【思维规律版】





【图片分析】

对应行数x和列数y，x-y和x+y可以看出每一个对角线的值是一样的，用对角线的值来判断皇后是否可以安放，能节省很多代码且运行时间减少。

【代码1】

#include<stdio.h>

int C[10],n,count;

void print()

{

printf("answer:%d\n",count);

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

{

for(j=0;j<n;j++)

if(C[i]==j) printf("1 ");

else printf("0 ");

printf("\n");

}

//printf("\n");

}

void search(int cur)

{

if(cur==n)

{

count++;

print();

return ;

}

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

{

int ok=1;

C[cur]=i; // 假设第cur行第i列能放皇后，进行下面的判断，看是否假设成立

for(j=0;j<cur;j++) // j执行到cur-1，因为执行的这行与前面的皇后进行位置进行比较，不能同列或同对角线

{

if(C[cur]==C[j]||cur-j==C[cur]-C[j]||cur-j==C[j]-C[cur]) // 判断是否同列或同对角线

{

ok=0;

break;

}

}

if(ok) search(cur+1); // 如果不同列或同对角线则继续进行递归

}

}

int main()

{

scanf("%d",&n);

search(0);

printf("%d\n",count);

return 0;

}

【代码分析】

用cur表示本行，j表示之前的行，C[cur]来表示本行皇后所在的列数，C[j]表示表示之前皇后所在的列数

【代码2】

#include<stdio.h>

int vis[3][20],C[10],tot=0,n;

void print()

{

printf("answer:%d\n",tot);

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

{

for(j=0;j<n;j++)

if(C[i]==j)

printf("1 ");

else printf("0 ");

printf("\n");

}

//printf("\n\n");

}

void search(int cur)

{

int i,j;

if(cur==8)

{

tot++;

print(); // 输出八皇后的图

return ;

}

for(i=0;i<n;i++)

{

if(!vis[0][i]&&!vis[1][cur+i]&&!vis[2][cur-i+n])

// vis[1][cur+i]表示副对角线，vis[2][cur-i+n]表示主对角线

{

C[cur]=i; // 可用于输出图

vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=1; // 表示某个位置有皇后，其他皇后不能与之同列或同对角线

search(cur+1);

vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=0;

// 必须置0，不然当前几层for循环第一个符合要求的时，执行到某一层发现没法继续执行，

// 就要返回，但你没有置0，返回后都无法继续执行

}

}

}

int main()

{lie

scanf("%d",&n);

search(0);

printf("%d\n",tot);

return 0;

}

【代码分析】

v[3][20]数组表示数据的位置，v[0]表示列，v[1]表示副对角线，v[2]表示主对角线，二维数组的列的值表示第几列和上图对角线的值，v数组的值表示此列或此对角线有没有皇后，有置为1，没有为0。

此代码和第一个代码一样需要递归后面置0，而第二个代码中，数组储存的是每行皇后的列数，当执行完时，会被下一个列数替代，只是判断本行的行--列和行+列和列与前面皇后的行--列和行+列和列是否相等相等说明此点不能安放皇后。

看前面的对角线图会让你更能理解这些话。