01背包，完全背包，多重背包的个人总结

大一刚接触背包问题的时候就觉得绕。那时候真的是一点代码基础都没有强行去理解。每次都是以失败告终，一直到大二都还不会写背包问题。

后来某次模拟赛之后碰到了背包问题，觉得这个还是挺简单的，终于是下定决心准备搞一搞这个东西了。

有了一定的基础理解起来就比以前容易多了。

首先，先分清楚这三个背包问题。

1.01背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品只有一件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

2.完全背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有无限多件，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

3.多重背包：有n种物品与承重为m的背包。每种物品有有限件num[i]，每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i]，求解如何装包使得价值最大。

啊，说真的大一的我听了这些已经趴下去睡觉了。

但是真的比对起来会发现，其实这些问题都是很类似的，三种背包就是三个约束条件不一样而已。

那么针对不同的约束条件，开始解决问题。

（一）关于01背包

呐，为什么叫它01背包呢，因为装进去就是1，不装进去就是0.所以针对每个物品就两种状态，装，不装（请允许我用这么老套的开篇，相信听过很多次背包讲解的人，大多都是这个开篇的）所以咯，我这个背包啊，只要有足够大的空间，这个物品是有可能被装进去的咯。

所以有状态转移方程

dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )

然后二维数组的代码写法分分钟就出来了，反正都是跟前一个状态去转移，也没有什么写法上的限制。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005][1005];
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>m>>n;
memset(dp,0,sizeof(dp));//数组清空,其实同时就把边界给做了清理
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
//从1开始有讲究的因为涉及到dp[i-1][j],从0开始会越界
for(int i=1; i<=n; i++)//判断每个物品能否放进
{
for(int j=0; j<=m; j++)//对每个状态进行判断
//这边两重for都可以倒着写，只是需要处理最边界的情况，滚动数组不一样
{
if(j>=weight[i])//能放进
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);

else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放进
}
}
cout<<dp
[m]<<endl;
return 0;
}

然后啊，我们来仔细分析分析就会发现，这个数组开销还是很大的，因为是二维的，万一哪个数据一大，分分钟内存超限，因此有了下边的解法

传说中的---------------滚动数组！！！

啊？什么是滚动数组。

说白了二维数组只是把每个物品都跑一遍，然后到最后一个物品的时候输出答案，那么过程值只是计算的时候用一次，我没必要存下来。所以用一个数组去滚动存储，然后用后一个状态的值去覆盖前面一个状态。然后形象的叫它：滚动数组（ma！dan！一点都不形象，我理解了好久）

好吧，假装很形象。

那么问题来了，怎么样用一维的去代替二维的工作，或者说怎么去思考。这是一个难点。

那么我们想，遍历物品的那个for肯定不能省去，然后里边的for也不能省。。。。那么。就把那个i给他删了吧，好像确实没啥用哦。

然后就出现了这样的代码

for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=weight[i]; j<=m; j++)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

看上去好像很厉害的样子,但是这个绝对是错的，因为第二个for里存在某个dp[j]被改动过，然后再次影响到更大的j。就像我们再对一个数组进行移位操作，一不小心就全部成了一样的数。（别笑，你们以前肯定碰到过|||- -）

额。。回到正题，上边的代码会有重复影响，确实歪打正着的碰上了另一个背包。这个另说，现在附上正确的思路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间省不去时间
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>m>>n;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i];
for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反
{
for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解，一层一层的
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}

其实就是规定从m开始循环，保证了选择这个物品时，肯定不会重复使用状态。

（二）关于完全背包

就像先前讲的，完全背包是每个物品都无限，那么我只要对着一个性价比最高的物品狂选就是了啊。？？

是吗？有瑕疵啊！

反例一批一批的啊，认死了选性价比最高的，不一定是完全填满背包的啊，万一最后一个是刚好填满背包的，而且价格凑起来刚好比全选性价比最高的物品高的情况比比皆是啊。

啊？什么，特判最后一个状态？

你在搞笑吗|||- -，那我再往前推到倒数第二件，第三件咋办。总不能对每个物品都特判吧。

所以正解就是动态规划。状态转移方程如下：

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k*weight[i]<=m

这样看是不是还要多一重for去算k（既放入这个物品的个数）

那么这里二维数组就不如一维的了。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[100005];//m
struct Node{
int a,b;
}node[1005];//n

int main(){
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d",&node[i].a,&node[i].b);
}
int m;
scanf("%d",&m);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=node[i].b;j<=m;j++){//这样就是完全背包
dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].b]+node[i].a);
}
}
printf("%d\n",dp[m]);
}
return 0;
}

特意换了一种写法让整体的代码结构看上去更像背包一点。

其中第二个for中是从小到大遍历的。这样就是要利用这种影响（因为物品不知道取几个呀，能取就减咯，这种影响正好就是这个题目的意思）

（三）关于多重背包

理解了前面两种背包，那么第三种背包理解起来就毫不费力了

首先这种可以把物品拆开，把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品，那么！！是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。对不对！！对不对！！

No BB， show me the code！！

哦， 客官，您要的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];
int weight[1005],value[1005],num[1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>weight[i]>>value[i]>>num[i];

for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品

for(int k=0; k<num[i]; k++)//其实就是把这类物品展开，调用num[i]次01背包代码

for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代码

dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);

cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}

那只是一种理解方法，其实正规的应该是这样的

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] ) 0<=k<=num[i]（这个跟完全背包差点就一毛一样了啊喂|||- -）

那么还是用滚动数组来写，而且还又优化了下

代码参考：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8563283

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;

int dp
;
int c
,w
,num
;
int n,m;

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数
{
for(int i=n; i>=cost; i--)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数
{
for(int i=cost; i<=n; i++)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品
{
if(num[i]*c[i] > m)
Complete_Pack(c[i],w[i],m);
//如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的
//因为是取不光的。那么就用完全背包去套
else
{
int k = 1;
//取得光的话，去遍历每种取法
//这里用到是二进制思想，降低了复杂度
//为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品
//这样足够凑出了从0-k个该物品取法
//把复杂度从k变成了logk
//如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法
while(k < num[i])
{
ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);
num[i] -= k;
k <<= 1;
}
ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);
}
}
return dp[m];
}

int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>m>>n;
for(int i=1; i<=n; i++)
cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];
cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;
}
return 0;
}

帮助个人学习用，如果帮到大家的话也是极好的。