HDU 4081 Qin Shi Huang's National Road System(最小生成树/次小生成树）

题目链接：传送门

题意：

有n坐城市，知道每坐城市的坐标和人口。如今要在全部城市之间修路，保证每一个城市都能相连，而且保证A/B 最大。全部路径的花费和最小，A是某条路i两端城市人口的和，B表示除路i以外全部路的花费的和（路径i的花费为0）.

分析：

先求一棵最小生成树，然后枚举每一条最小生成树上的边，删掉后变成两个生成树。然后找两个集合中点权最大的两

个连接起来。这两个点中必定有权值最大的那个点。所以直接从权值最大的点開始dfs。

　　为了使A/B的值最大，则A尽可能大，B尽可能小。所以B中的边一定是MST上去掉一条边后的剩余全部边。首先用O(N^2)算出

　　MST，然后依次枚举。删去MST上的每一条边。MST变成两棵树T1和T2，然后在剩余的边（即不在MST上的边），以及这条删

　　去的边中找到该边的两点的权值和最大以及可以连接T1和T2的边。A=删去边后的替换边的两点的权值和，B=删去该边后的MST

　　的值。求A/B最大。

则A尽可能大，A各自是T1和T2中最大的两个点，则全部点中权值最大的点一定在A中。由此在MST上从权值

　　最大的点作为root。開始dfs。递归求出子树中的每一个最大的点以及求出A/B的比值，求出最大。

分析转载自：传送门

我的理解。首先非常明显我们是须要求出最小生成树的，然后我们能够枚举边(u,v)中的边，非常明显枚举的边都会

与原来MST中的边形成一个环，由于这个边不在MST中，那么这个边的权值一定是大于MST中连接U,V的边的，因此

我们在这个环里去掉的应该是权值最大的边。

代码例如以下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn = 1e3+10;

const int inf = 1e9+10;

struct point{
int x,y;
}a[maxn];

int head[maxn],par[maxn],peo[maxn];

bool vis[maxn];

int ip,mmax;
double ans ,mst;

struct tree{
int u,v;
double w;
tree(){}
tree(int _u,int _v,double _w):u(_u),v(_v),w(_w){}
bool operator < (const struct tree &tmp)const{
return w<tmp.w;
}
}mp[maxn*maxn];

struct nod{
int to,next;
double w;
}edge[maxn*2];

double calu(point a,point b){
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

void add(int u,int v,double w){
edge[ip].to=v;
edge[ip].w=w;
edge[ip].next=head[u];
head[u]=ip++;
}

int find_par(int x){
if(x!=par[x]) return par[x]=find_par(par[x]);
return par[x];
}

bool Union(int x,int y){
x=find_par(x);
y=find_par(y);
if(x!=y){
par[x]=y;
return true;
}
return false;
}

void init(){
for(int i=0;i<maxn;i++) par[i]=i;
ip=mmax=0;
ans=mst=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
}

int dfs(int root){
vis[root]=1;
int peo_max=peo[root];
for(int i=head[root];i!=-1;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(!vis[v]){
int tmp = dfs(v);
peo_max=max(peo_max,tmp);
ans=max(ans,(tmp+mmax)/(mst-edge[i].w));
}
}
return peo_max;
}

int main(){
int t,n,root;
scanf("%d",&t);
while(t--){
init();
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&peo[i]);
if(peo[i]>mmax){
mmax=peo[i];
root=i;
}
}
int cnt = 0;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
mp[cnt++]=tree(i,j,calu(a[i],a[j]));
}
}
sort(mp,mp+cnt);
for(int i=0;i<cnt;i++){
if(Union(mp[i].u,mp[i].v)){
mst+=mp[i].w;
add(mp[i].u,mp[i].v,mp[i].w);
add(mp[i].v,mp[i].u,mp[i].w);
}
}
dfs(root);
printf("%.2lf\n",ans);
}
return 0;
}