Bellman-Ford(单源最短路径,判断是否有负权环路)
2016-04-15 22:52
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Bellman-Ford
1,.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。
其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行第1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)
注意:上述只对正权图有效。如果存在负权不一定第i次就能确定最短路,且与边的顺序有关。
如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。
如果有负权回路,那么第 |v| 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。
1,.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。
首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。
其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。
在对每条边进行第1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。
每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)
注意:上述只对正权图有效。如果存在负权不一定第i次就能确定最短路,且与边的顺序有关。
如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。
如果有负权回路,那么第 |v| 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define MAX 0x3f3f3f3f #define N 1010 int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点 typedef struct Edge //边 { int u;//原点 int v; //目标点 int cost; }Edge; Edge edge ; int dis , pre ; bool Bellman_Ford() { for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化 dis[i] = (i == original ? 0 : MAX); for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i) for(int j = 1; j <= edgenum; ++j) if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反~) { dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; pre[edge[j].v] = edge[j].u; } bool flag = 1; //判断是否含有负权回路 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost) { flag = 0; break; } return flag; } void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向) { while(root != pre[root]) //前驱 { printf("%d-->", root); root = pre[root]; } if(root == pre[root]) printf("%d\n", root); } int main() { scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original); pre[original] = original; for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) { scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost); } if(Bellman_Ford()) for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路 { printf("%d\n", dis[i]); printf("Path:"); print_path(i); } else printf("have negative circle\n"); return 0; }
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