动态规划 最长公共子序列 求长度和最长字符串

相信能搜这个算法的，一定是对它有所接触了，最长公共子序列（非连续）问题是求两个字符串中公有的字符组成的最长字符串（当然字符的先后顺序不能变）；

以南阳36为例：

最长公共子序列

时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：3

描述咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。

tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数

接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.
输出每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。
样例输入

2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc

样例输出

3
6

这道题要求出a，b两个字符串的最大长度，这里加上求最长字符串。

arr[i][j]:

	0	a	d	f	s	d
0	0	0	0	0	0	0
a	0
s	0
d	0
f	0

表格的第一列是字符串a:asdf

表格的第一行是字符串b:adfsd

arr[i][j] 代表当a的串到a[i]，b的串到b[j]的时候a，b的最长公共子序列长度。从前至后更新数组。

	0	a	d	f	s	d
0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1
s	0
d	0
f	0

当第二行中a只有一个字符‘a’，所以当第一个其等于b中‘a’时，后面的都是1。

	0	a	d	f	s	d
0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1
s	0	1	2	2	2	2
d	0
f	0

同理，第三行最后一个不超过2。

	0	a	d	f	s	d
0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1
s	0	1	2	2	2	2
d	0	1	2	2	2	3
f	0	1	2	3	3	3

更新完毕，右下角为公共子串的最大长度。

图中红色数字位置为a[i]=b[j]处，长度由a[i-1][j-1]加1,（若取a[i]=b[j]，那么长度变长，这个长度要在a[i]、b[j]之前的基础上变/斜对角位置）

当a[i]!=b[j]那么arr[i][j]取max[（a[0~i]与b[0~j-1]的最大长度）,(a[0~i-1]与b[0~j]的最大长度)]；

so：求最大长度的代码为：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>
#include<cstring>   //memset函数头文件
using namespace std;
string a,b,s;
int al,bl,n;
int arr[1001][1001];

void dp()   //更新数组
{
for(int i=1;i<=al;i++)
{
for(int j=1;j<=bl;j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;</span>

<span style="font-size:18px;">              //i-1，j-1是因为a，b字符串是从0开始的</span>

<span style="font-size:18px;">              //但是arr数组是要从arr[1][1]开始更新</span>

<span style="font-size:18px;">              //因为i=0||j=0→arr[i][j]=0;不需更新
else  arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);
}
}
}

int main()
{
while(cin>>n)
{
while(n--)
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
cin>>a>>b;
al=a.length();
bl=b.length();
dp();
cout<<arr[al][bl]<<endl;
}
}
return 0;
}</span>

接下来我们看一下怎么求这个最长的字符串：

求长度是从前向后更新数组，但是想要求字符串需要从后向前看。

	0	a	d	f	s	d
0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1
s	0	1	1	2	2	2
d	0	1	2	2	2	3
f	0	1	2	3	3	3

图中黄底红字部分为相等字符部分：用数组s记录相等点的字符，k为s下标，初值0；

a的长度al，b的长度bl；i=al；j=bl；

判断a[i]=b[j]?如果相等：s[k]=a[i]=b[j];k+1;由于相

如果不等：(1) 如果arr[i][j]==arr[i-1][j]证明还可以向上移动

（例：长度不会由4→2，漏掉3）所以此时可以向上走：i--；

(2)如果arr[i][j]！=arr[i-1][j]，证明再向上走就会漏掉一个相等点

求得s长度不会最大相等长度。所以向左走：j--；

求得s="dsa"；

因为是逆序寻找所以字符串是倒序，对s进行输出时要倒序输出！

代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
string a,b,s;
int al,bl,n;
int arr[1001][1001];

void dp()
{
for(int i=1;i<=al;i++)
{
for(int j=1;j<=bl;j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;
else  arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);
}
}
}

int main()
{
while(cin>>n)
{
while(n--)
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
cin>>a>>b;
al=a.length();
bl=b.length();
dp();
cout<<"最长公共子序列长度："<<arr[al][bl]<<endl;
int k=0;
for(int i=al;i>=0;)
{
for(int j=bl;j>=0;)
{
if(a[i]==b[j])
{
s[k]=a[i];
i--;
j--;
k++;
}
else
{
if(arr[i][j]==arr[i-1][j])
i--;
else
j--;
}
}
}
cout<<"得到的字符串为：";
for(k--;k>=0;k--)    //逆向输出s
cout<<s[k];
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
</span>