推荐算法——基于矩阵分解的推荐算法

一、推荐算法概述

对于推荐系统(Recommend System, RS)，从广义上的理解为：为用户(User)推荐相关的商品(Items)。常用的推荐算法主要有：

基于内容的推荐(Content-Based Recommendation)

协同过滤的推荐(Collaborative Filtering Recommendation)

基于关联规则的推荐(Association Rule-Based Recommendation)

基于效用的推荐(Utility-Based Recommendation)

基于知识的推荐(Knowledge-Based Recommendation)

组合推荐(Hybrid Recommendation)

在推荐系统中，最重要的数据是用户对商品的打分数据，数据形式如下所示：



其中，U1⋯U5U_1\cdots U_5表示的是55个不同的用户，D1⋯D4D_1\cdots D_4表示的是44个不同的商品，这样便构成了用户-商品矩阵，在该矩阵中，有用户对每一件商品的打分，其中“-”表示的是用户未对该商品进行打分。

在推荐系统中有一类问题是对未打分的商品进行评分的预测。

二、基于矩阵分解的推荐算法

2.1、矩阵分解的一般形式

矩阵分解是指将一个矩阵分解成两个或者多个矩阵的乘积。对于上述的用户-商品矩阵(评分矩阵)，记为Rm×nR_{m\times n}。可以将其分解成两个或者多个矩阵的乘积，假设分解成两个矩阵Pm×kP_{m\times k}和Qk×nQ_{k\times n}，我们要使得矩阵Pm×kP_{m\times k}和Qk×nQ_{k\times n}的乘积能够还原原始的矩阵Rm×nR_{m\times n}：

Rm×n≈Pm×k×Qk×n=R^m×nR_{m\times n}\approx P_{m\times k}\times Q_{k\times n}=\hat{R}_{m\times n}

其中，矩阵Pm×kP_{m\times k}表示的是mm个用户与kk个主题之间的关系，而矩阵Qk×nQ_{k\times n}表示的是kk个主题与nn个商品之间的关系。

2.2、利用矩阵分解进行预测

在上述的矩阵分解的过程中，将原始的评分矩阵Rm×nR_{m\times n}分解成两个矩阵Pm×kP_{m\times k}和Qk×nQ_{k\times n}的乘积：

Rm×n≈Pm×k×Qk×n=R^m×nR_{m\times n}\approx P_{m\times k}\times Q_{k\times n}=\hat{R}_{m\times n}

那么接下来的问题是如何求解矩阵Pm×kP_{m\times k}和Qk×nQ_{k\times n}的每一个元素，可以将这个问题转化成机器学习中的回归问题进行求解。

2.2.1、损失函数

可以使用原始的评分矩阵Rm×nR_{m\times n}与重新构建的评分矩阵R^m×n\hat{R}_{m\times n}之间的误差的平方作为损失函数，即：

e2i,j=(ri,j−r^i,j)2=(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)2e_{i,j}^2=\left ( r_{i,j}-\hat{r}_{i,j} \right )^2=\left (r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )^2

最终，需要求解所有的非“-”项的损失之和的最小值：

minloss=∑ri,j≠−e2i,jmin\; loss= \sum_{r_{i,j}\neq -}e_{i,j}^2

2.2.2、损失函数的求解

对于上述的平方损失函数，可以通过梯度下降法求解，梯度下降法的核心步骤是

求解损失函数的负梯度：

∂∂pi,ke2i,j=−2(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)qk,j=−2ei,jqk,j\frac{\partial }{\partial p_{i,k}}e_{i,j}^2=-2\left ( r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )q_{k,j}=-2e_{i,j}q_{k,j}

∂∂qk,je2i,j=−2(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)pi,k=−2ei,jpi,k\frac{\partial }{\partial q_{k,j}}e_{i,j}^2=-2\left ( r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )p_{i,k}=-2e_{i,j}p_{i,k}

根据负梯度的方向更新变量：

pi,k′=pi,k−α∂∂pi,ke2i,j=pi,k+2αei,jqk,j{p_{i,k}}'=p_{i,k}-\alpha \frac{\partial }{\partial p_{i,k}}e_{i,j}^2=p_{i,k}+2\alpha e_{i,j}q_{k,j}

qk,j′=qk,j−α∂∂qk,je2i,j=qk,j+2αei,jpi,k{q_{k,j}}'=q_{k,j}-\alpha \frac{\partial }{\partial q_{k,j}}e_{i,j}^2=q_{k,j}+2\alpha e_{i,j}p_{i,k}

通过迭代，直到算法最终收敛。

2.2.3、加入正则项的损失函数即求解方法

通常在求解的过程中，为了能够有较好的泛化能力，会在损失函数中加入正则项，以对参数进行约束，加入L2L_2正则的损失函数为：

e2i,j=(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)2+β2∑k=1K(p2i,k+q2k,j)e_{i,j}^2=\left (r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )^2+\frac{\beta }{2}\sum_{k=1}^{K}\left ( p_{i,k}^2+q_{k,j}^2 \right )

利用梯度下降法的求解过程为：

求解损失函数的负梯度：

∂∂pi,ke2i,j=−2(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)qk,j+βpi,k=−2ei,jqk,j+βpi,k\frac{\partial }{\partial p_{i,k}}e_{i,j}^2=-2\left ( r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )q_{k,j}+\beta p_{i,k}=-2e_{i,j}q_{k,j}+\beta p_{i,k}

∂∂qk,je2i,j=−2(ri,j−∑k=1Kpi,kqk,j)pi,k+βqk,j=−2ei,jpi,k+βqk,j\frac{\partial }{\partial q_{k,j}}e_{i,j}^2=-2\left ( r_{i,j}-\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j} \right )p_{i,k}+\beta q_{k,j}=-2e_{i,j}p_{i,k}+\beta q_{k,j}

根据负梯度的方向更新变量：

pi,k′=pi,k−α(∂∂pi,ke2i,j+βpi,k)=pi,k+α(2ei,jqk,j−βpi,k){p_{i,k}}'=p_{i,k}-\alpha \left ( \frac{\partial }{\partial p_{i,k}}e_{i,j}^2+\beta p_{i,k} \right )=p_{i,k}+\alpha \left ( 2e_{i,j}q_{k,j}-\beta p_{i,k} \right )

qk,j′=qk,j−α(∂∂qk,je2i,j+βqk,j)=qk,j+α(2ei,jpi,k−βqk,j){q_{k,j}}'=q_{k,j}-\alpha \left ( \frac{\partial }{\partial q_{k,j}}e_{i,j}^2+\beta q_{k,j} \right )=q_{k,j}+\alpha \left ( 2e_{i,j}p_{i,k}-\beta q_{k,j} \right )

通过迭代，直到算法最终收敛。

2.2.4、预测

利用上述的过程，我们可以得到矩阵Pm×kP_{m\times k}和Qk×nQ_{k\times n}，这样便可以为用户ii对商品jj进行打分：

∑k=1Kpi,kqk,j\sum_{k=1}^{K}p_{i,k}q_{k,j}

2.3、程序实现

对于上述的评分矩阵，通过矩阵分解的方法对其未打分项进行预测，最终的结果为：



程序代码如下：

#!/bin/python
'''
Date:20160411
@author: zhaozhiyong
'''
from numpy import *

def load_data(path):
f = open(path)
data = []
for line in f.readlines():
arr = []
lines = line.strip().split("\t")
for x in lines:
if x != "-":
arr.append(float(x))
else:
arr.append(float(0))
#print arr
data.append(arr)
#print data
return data

def gradAscent(data, K):
dataMat = mat(data)
print dataMat
m, n = shape(dataMat)
p = mat(random.random((m, K)))
q = mat(random.random((K, n)))

alpha = 0.0002
beta = 0.02
maxCycles = 10000

for step in xrange(maxCycles):
for i in xrange(m):
for j in xrange(n):
if dataMat[i,j] > 0:
#print dataMat[i,j]
error = dataMat[i,j]
for k in xrange(K):
error = error - p[i,k]*q[k,j]
for k in xrange(K):
p[i,k] = p[i,k] + alpha * (2 * error * q[k,j] - beta * p[i,k])
q[k,j] = q[k,j] + alpha * (2 * error * p[i,k] - beta * q[k,j])

loss = 0.0
for i in xrange(m):
for j in xrange(n):
if dataMat[i,j] > 0:
error = 0.0
for k in xrange(K):
error = error + p[i,k]*q[k,j]
loss = (dataMat[i,j] - error) * (dataMat[i,j] - error)
for k in xrange(K):
loss = loss + beta * (p[i,k] * p[i,k] + q[k,j] * q[k,j]) / 2

if loss < 0.001:
break
#print step
if step % 1000 == 0:
print loss

return p, q

if __name__ == "__main__":
dataMatrix = load_data("./data")

p, q = gradAscent(dataMatrix, 5)
'''
p = mat(ones((4,10)))
print p
q = mat(ones((10,5)))
'''
result = p * q
#print p
#print q

print result

其中，利用梯度下降法进行矩阵分解的过程中的收敛曲线如下所示：

'''
Date:20160411
@author: zhaozhiyong
'''

from pylab import *
from numpy import *

data = []

f = open("result")
for line in f.readlines():
lines = line.strip()
data.append(lines)

n = len(data)
x = range(n)
plot(x, data, color='r',linewidth=3)
plt.title('Convergence curve')
plt.xlabel('generation')
plt.ylabel('loss')
show()

参考文献

《大数据智能》

Matrix Factorization: A Simple Tutorial and Implementation in Python