各种排序算法的分析与实现

由于最近在找工作的过程中遇见了很多考察各种排序算法的问题，而我对此却不是非常熟悉，所以花了一些时间做了一个非常简单的总结。

一．直接插入排序（straight insertion sort）

直接插入排序算法是稳定的排序算法，时间复杂度为
O(n^2)。

思想为：假设待排序的数组存放在a[1...n]中，初始时，a[1]自成一个有序区，无序区为a[2...n]。从i=2到i=n为止，依次将a[i]插入到当前有序区a[1...i-1]中去，生成n个记录的有序区。

排序方法

1．简单方法

首先在当前有序区R[1..i-1]中查找R[i]的正确插入位置k(1≤k≤i-1)；然后将R[k．．i-1]中的记录均后移一个位置，腾出k位置上的空间插入R[i]。

注意：若R[i]的关键字大于等于R[1．．i-1]中所有记录的关键字，则R[i]就是插入原位置。

2．改进的方法

一种查找比较操作和记录移动操作交替地进行的方法。具体做法：

将待插入记录R[i]的关键字从右向左依次与有序区中记录R[j](j=i-1，i-2，…，1)的关键字进行比较：

① 若R[j]的关键字大于R[i]的关键字，则将R[j]后移一个位置；

②若R[j]的关键字小于或等于R[i]的关键字，则查找过程结束，j+1即为R[i]的插入位置。

关键字比R[i]的关键字大的记录均已后移，所以j+1的位置已经腾空，只要将R[i]直接插入此位置即可完成一趟直接插入排序。

void insert_sort(int a[],int n)
{
for(int i = 0 ; i < n ; i++)
{
int temp = a[i] ;
int j ;
for(j = i-1 ; j >= 0 && temp < a[j] ; j--)
{
a[j+1] = a[j] ;
}
a[j+1] = temp ;
}
}

二．希尔排序（Shell Sort）

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。希尔排序时间复杂度的下界是n*log2n。

希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比o(n^2)好一些。

算法思想：先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中。先在各组内进行直接插入排序；然后，取第二个增量d2<d1重复上述的分组和排序，直至所取的增量dt
= 1，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。

该方法实质上是一种分组插入方法。

一般的初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为1。

void shell_sort(int a[],int n)
{
int h,i,j,temp ;

for(h = n/2 ; h > 0 ; h/=2)  //控制增量
{
for(i = h ; h < n ; h++)  //这个for循环就是前面的直接插入排序
{
temp = a[i] ;
for(j = i - h ; j >= 0 && temp < a[j] ; j-=h)
{
a[j+h] = a[j] ;
}
a[j+h] = temp ;
}
}
}

三．冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序（Bubble Sort），是一种较简单的稳定的排序算法，时间复杂度为
O(n^2)。

思想：（从小到大排序）存在n个不同大小的气泡，由底至上地把较轻的气泡逐步地向上升，这样经过遍历一次后，最轻的气泡就会被上升到顶（下标为0），然后再从底至上地这样升，循环直至n个气泡大小有序。

在冒泡排序中，最重要的思想是两两比较，将两者较小的升上去。

void bubble_sort(int a[],int n)
{
int exchange = 0 ;    //用于记录每次扫描时是否发生交换

for(int i = 0 ; i < n-1 ; i++)  //进行n-1趟扫描
{
exchange = 0 ;
for(int j = n-1 ; j >= i ; j--)  //从后往前交换，这样最小值每次都到开头的位置
{
if(a[j]>a[j+1])
{
int temp = a[j] ;
a[j] = a[j+1] ;
a[j+1] = temp ;
exchange = 1 ;  //假如一趟扫描中至少有一组值发生了交换，那么就说明还没有序
}
}
if(exchange != 1) break;
}
}

四．快速排序（Quick Sort）

快速排序（Quick sort）是对冒泡排序的一种改进。不稳定。它的平均时间复杂度为O(nlgn)。

快速排序的时间主要耗费在划分操作上，对长度为k的区间进行划分，共需k-1次关键字的比较。

最坏情况是每次划分选取的基准都是当前无序区中关键字最小(或最大)的记录，划分的结果是基准左边的子区间为空(或右边的子区间为空)，而划分所得的另一个非空的子区间中记录数目，仅仅比划分前的无序区中记录个数减少一个。时间复杂度为O(n*n)

在最好情况下，每次划分所取的基准都是当前无序区的"中值"记录，划分的结果是基准的左、右两个无序子区间的长度大致相等。总的关键字比较次数：O(nlgn)

尽管快速排序的最坏时间为O(n^2)，但就平均性能而言，它是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快者，快速排序亦因此而得名。

思想：设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。

一趟快速排序的算法是：

1）设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=0，j=N-1；

2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给key，即key=A[0]；

3）从j开始向前搜索，即由后开始向前搜索(j--)，找到第一个小于key的值A[j]，将A[j]和A[i]互换；

4）从i开始向后搜索，即由前开始向后搜索(i++)，找到第一个大于key的A[i]，将A[i]和A[j]互换；

5）重复第3、4步，直到i = j
；

void quick_sort(int a[],int low,int high)
{
int i,j,pivot;           //pivot基准
if(low < high)    //传进来进行一次判断
{
pivot = a[low] ;
i = low ;
j = high ;
while(i<j)
{
while(i<j && a[j] >= pivot) j--;
if(i<j) a[i++] = a[j] ;     //将比pivot小的元素移到低端
while(i<j && a[i] <= pivot) i++;
if(i<j) a[j--] = a[i] ;    //将比pivot大的元素移到高端
}
a[i] = pivot ;                   //pivot移到最终位置
quick_sort(a,low,i-1);           //左区间递归排序
quick_sort(a,i+1,high);          //右区间递归排序
}
}

五．直接选择排序（Straight Select Sorting )

直接选择排序(Straight Select Sorting)
是一种较简单的不稳定的排序算法，时间复杂度为
O(n^2)。

思想：第一次从R[0]~R[n-1]中选取最小值，与R[0]交换，第二次从R[1]~R[n-1]中选取最小值，与R[1]交换，....，第i次从R[i-1]~R[n-1]中选取最小值，与R[i-1]交换，.....，第n-1次从R[n-2]~R[n-1]中选取最小值，与R[n-2]交换，总共通过n-1次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。

void select_sort(int a[],int n)
{
for(int i = 0 ; i < n ; i++)    //进行n-1次遍历
{
int x = a[i] ;     //每次遍历前x和l的初始设置
int l = i ;
for(int j = i ; j < n ; j++)   //遍历从i位置到数组的尾部
{
if (a[j]<x)
{
x = a[j] ; //x记录最小值
l = j ;    //l记录最小值的位置
}
}
a[l] = a[i] ;    //把最小元素与a[i]进行交换
a[i] = x ;
}
}

六．堆排序（Heap Sort）

平均性能 ：O(N*logN)，它是不稳定的排序方法。

其他性能 ：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。 堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）.

小顶堆：所有子节点都大于等于其父节点；

大顶堆：所有子节点都小于等于其父节点。

若将此序列所存储的向量A[1...n]看为一颗完全二叉树的存储结构，那么堆实质上是满足一下性质的完全二叉树：树中任一非叶子结点的关键字均不大于（或不小于）其左右子节点的关键字。

因此堆排序是一种树形选择排序。

堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。

用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R
交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R
，且满足R[1..n-1].keys≤R
.key

③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区只有一个元素为止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：

①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2)
其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。

PS：从len/2开始调整的原因是，从最后一个非叶子节点处开始调整，它的左右叶子节点已经是堆了。每次调整一个节点之前，保证它的左右叶子一定是一个堆。

②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那便交换节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn) 。

调整堆（Heapify）函数思想方法：

每趟排序开始前，A[1...i]是以A[1]为根的堆，在A[1]与A[i]交换之后，新的无序区A[1...i-1]中只有A[1]的值发生了变化，故除A[1]可能违反堆的性质外，其余任何节点为根的子树均是堆。因此调整区间A[low...high]时，只须调整以A[low]为根的树就可以了。建立堆也是这样的一个过程。

int heapSize = 0 ;  //堆大小，值为数组的长度
//返回右子节点的索引
int Left(int index){ return ((index<<1) + 1 ) ; }

//返回左子节点的索引
int Right(int index){ return ((index<<1) + 2 ) ; }

//交换a,b的值,指针操作
void swap(int *a,int *b){int temp = *a ; *a = *b ; *b = temp ;}

//a[index]与其左右子树进行递归对比
void maxHeapify(int a[],int index)
{
int largest = index ;   //最大数
int left = Left(index) ; //左子树索引
int right = Right(index) ; //右子树索引
if((left<=heapSize) && (a[left]>a[largest])) largest = left ;
if((right<=heapSize) && (a[right]>a[largest])) largest = right ;
//把largest与堆顶的左右子节点比较，取最大值

//此时largest为堆顶，左子节点，右子节点的最大值
if(largest!=index)
{
//如果堆顶不是最大值，那么交换并递归调整堆
swap(&a[index],&a[largest]);
maxHeapify(a,largest);
}
}

//初始化堆，将数组中的每一个元素放到合适的位置
//完成之后，堆顶元素为数组的最大值
void buildMaxheap(int a[],int n)
{
heapSize = n ;   //堆大小为数组长度
for (int i = (n>>1) ; i>= 0 ; i--)
{
//从最后一个非叶子节点开始调整，因为所有的叶子结点已经为堆了
maxHeapify(a,i);
}
}

void heap_sort(int a[],int n)
{
//初始化堆
buildMaxheap(a,n-1);  //传进去的是数组长度
for(int i = (n-1) ; i>= 1; i--)
{
//堆顶元素a[0]（数组的最大值)被置换到数组的尾部a[i]
swap(&a[0],&a[i]);
heapSize--;  //从堆中移除该元素
maxHeapify(a,0);//每次调整都是从堆顶开始的，因为除堆顶外其他的节点都满足堆的性质
}
}

七．基数排序（Radix Sort)

基数排序法是属于稳定性的排序，其时间复杂度为O
(nlog(r)m)，其中r为所采取的基数，而m为堆数，在某些时候，基数排序法的效率高于其它的稳定性排序法。

原理类似桶排序,这里总是需要10个桶,多次使用

首先以个位数的值进行装桶,即个位数为1则放入1号桶,为9则放入9号桶,暂时忽视十位数

例如

待排序数组[62,14,59,88,16]简单点五个数字

分配10个桶,桶编号为0-9,以个位数数字为桶编号依次入桶,变成下边这样

| 0 | 0 | 62 | 0 | 14 | 0 | 16 | 0 | 88 | 59 |

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |桶编号

将桶里的数字顺序取出来,

输出结果:[62,14,16,88,59]

再次入桶,不过这次以十位数的数字为准,进入相应的桶,变成下边这样:

由于前边做了个位数的排序,所以当十位数相等时,个位数字是由小到大的顺序入桶的,就是说,入完桶还是有序

| 0 | 14,16 | 0 | 0 | 0 | 59 | 62 | 0 | 88 | 0 |

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |桶编号

因为没有大过100的数字,没有百位数,所以到这排序完毕,顺序取出即可

最后输出结果:[14,16,59,62,88].

既然我们可以从最低位到最高位进行如此的分配收集，那么是否可以由最高位到最低位依次操作呢？ 答案是完全可以的。

基于两种不同的排序顺序，我们将基数排序分为最低位优先LSD（Least
significant digital）或最高位优先MSD（Most significant digital），

LSD的排序方式由数值的最右边（低位）开始，而MSD则相反，由数值的最左边（高位）开始。

注意一点：LSD的基数排序适用于位数少的数列，如果位数多的话，使用MSD的效率会比较好。

MSD的方式与LSD相反，是由高位数为基底开始进行分配，但在分配之后并不马上合并回一个数组中，而是在每个“桶子”中建立“子桶”，将每个桶子中的数值按照下一数位的值分配到“子桶”中。

在进行完最低位数的分配后再合并回单一的数组中。

int find_max(int a[],int n)
{
int maxx = a[0] ;
for(int i = 1 ; i < n ; i++)
{
if(a[i]>maxx)maxx = a[i] ;
}
return maxx ;
}

//返回数字n的位数
int digit_num(int n)
{
int digit = 0 ;
do
{
++digit ;
n/=10 ;
} while (n!=0);
return digit ;
}

//返回数组num的第k位数字
int kth_digit(int num,int k)
{
num/=pow(10,k) ;
return num%10 ;
}

//对长度为n的数组进行基数排序
void radix_sort(int a[],int n)
{
int *temp[10] ; //指针数组，每一个数组表示一个箱子
int count[10] = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} ; //用于存储每个箱子装的元素个数
int maxx = find_max(a,n);   //取得数组中的最大值
int maxDigit = digit_num(maxx) ; //取得maxx的位数
for(int i = 0 ; i < 10  ; i++)
{
temp[i] = new int
; //使得每一个箱子可以装下n的元素
memset(temp[i],0,sizeof(int)*n) ;
}
for(int i = 0 ; i < maxDigit ; i++)
{
memset(count,0,sizeof(count)) ; // 将count清空
for(int j = 0 ; j < n ; j++)
{
int x = kth_digit(a[j],i) ;    //将数据按照位数的值放入数组中
temp[x][count[x]] = a[j] ;
count[x]++ ;  //此箱子里面装入的数字加1
}
int num = 0 ;
for(int j = 0 ; j < 10 ; j++)
{
for(int k = 0 ; k < count[j] ; k++)
{
a[num++] = temp[j][k] ;
}
}
}
}

八．归并排序（Merge Sort）

时间复杂度为O(nlogn)
这是该算法中最好、最坏和平均的时间性能。空间复杂度为
O(n)。归并排序比较占用内存，但却是一种效率高且稳定的算法。

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide
and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

首先考虑下如何将将二个有序数列合并。这个非常简单，只要从比较二个数列的第一个数，谁小就先取谁，取了后就在对应数列中删除这个数。然后再进行比较，如果有数列为空，那直接将另一个数列的数据依次取出即可。

一次归并操作的代码

//将有序数组a[]和b[]合并到c[]中
void MemeryArray(int a[], int n, int b[], int m, int c[])
{
int i, j, k;
i = j = k = 0;
while (i < n && j < m)
{
if (a[i] < b[j])
c[k++] = a[i++];
else
c[k++] = b[j++];
}
while (i < n)
c[k++] = a[i++];
while (j < m)
c[k++] = b[j++];
}

可以看出合并有序数列的效率是比较高的，可以达到O(n)。

解决了上面的合并有序数列问题，再来看归并排序，其的基本思路就是将数组分成二组A，B，如果这二组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序了？

可以将A，B组各自再分成二组。依次类推，当分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。

//将结果填入临时数组然后将临时数组拷贝到原始数组
//将有二个有序数列a[first...mid]和a[mid...last]合并。
void Merge(int a[],int temp[],int first,int middle,int last)
{
int i = first , j = middle+1 ;
int n = middle , m = last ;
int k = 0 ;
while(i<=n&&j<=m)
{
if(a[i]<=a[j])
{
temp[k++]=a[i++];
}
else temp[k++]=a[j++];
}
while(i<=n) temp[k++]=a[i++];
while(j<=m) temp[k++]=a[j++];

for(i = 0 ; i < k ; i++)
{
a[first+i]=temp[i] ;
}
}

void msort(int a[],int temp[],int low,int high)
{
if(low>=high) return ;   //结束条件
int middle = (low+high)/2;   //分裂点
msort(a,temp,low,middle);
msort(a,temp,middle+1,high);
Merge(a,temp,low,middle,high); //组合，将两个有序区间组合成一个
}

void merge_sort(int a[],int n)
{
int *temp = new int
; // 分配临时数组空间
if(temp!=NULL)
{
msort(a,temp,0,n-1) ; //调用msort归并排序
delete []temp ;    //释放临时空间的地址
}
}