使用移位运算和加减法实现乘除法

这个想法是在做leetcode 的题目29 Divide
Two Integers时产生的，原题描述如下：

Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

If it is overflow, return MAX_INT.

就是说不用乘除取余运算来实现两个int醒变量的整除，然后如果溢出的话就返回INT_MAX。

先把问题简化一下，不考虑溢出问题，并且假设被除数n大于除数m大于0，嗯，基于这个假设，剩下的就是纯粹的算法部分了。说到整除问题，有n/m==k+r（r==n mod m），也就是我们小学学过的被除数除以除数等于商加余数。根据这个公式很自然的想到用n逐次减去m直到差小于m，代码如下;

int i=0;
while (n>=m)
{
n-=m;
i++;
}
return i;

如果n和m比较接近的话，这样做还是很快的，但是对于一般情况，其时间复杂度为O(n/m)，有些捉急，尤其是n特别大而m又很小的时候，简直不能忍，按这种思路提交的算法会提示超时（意料之中）。那么有没有别的方法呢？显然有！答案就是位运算。

使用左移和右移可以很方便地实现乘除2^的n次方，而 n/m==k+r 即 m*k==n-r 即 m*(2^l1+2^l2+……+2^ls)==n-r ，即m<<l1+m<,l2+……+m<<ls==n-r，于是整除运算就转化为移位运算和加减运算。然后可以写出如下代码：

int k=0,i=o;
while (n>=m)
{
if (n>=m<<i)
{
k+=1<<i;
n-=m<<i;
++i;
}
else
{
i--;
}
}
return k;

这样一来，一般情况下的时间复杂度大大降低，只有O（k的二进制表示的位数）。
同理，整数乘法也可以用位运算来实现。

int i=0,k=0;
while (m)
{
if (m>=1<<i)
{
k+=n<<i;
m-=1<<i;
i++;
}
else
{
i=0;
}
}

以上就是我能想到的方法，然后具体到这个题目的话，还要考虑除数为0以及溢出问题，比如被除数为-2^31时该怎么解决。