UESTC第十四届校赛A题解题报告

太弱，什么都不会（Qrz）

给你一个n，然后你要用一个序列构成0到n的所有数（构成方法就是从序列中选若干个数加起来）问你有多少种这样的序列，{1,2,3}和{1,3,2}是相同的序列

首先，看下n范围5000，复杂度肯定是n^2打表。

然后赛上各种推不出状态。。。

其实，肯定有一维状态要表示整个序列的和，那么就是dp[i]，i为整个序列的和的方法数。然后尝试转移会发现很迷茫。。显然再加一维，考虑到对整个序列排个序之后，我们只放大于等于整个序列最大元素的数，那么又肯定要有一维状态来表示当前序列的最大元素。

最后dp[i][j]表示，整个序列的和为i，且序列中最大元素为j的方法数。

接下来我们考虑转移，假设dp[i][j]正确且已知，那么dp[i][j]已经能够表示0-i的所有数，考虑接下来我们将在集合里添加的数k，k肯定大于等于j，但是当k大于i+1的时候，整个序列是无法表示i+1的，因此j<=k<=i+1

因此dp[i+k][k] += dp[i][j];

这样，我们发现复杂度是n^3，状态需要修改下，使得能让我们预处理降低一维复杂度，看看转移状态，第二维的k是显然没法改变的，于是我们尝试改变第一维。我们发现，i+k是与k有关的，于是定义状态dp[i][j]表示整个序列的和为i+j，且序列中最大元素为j的方法数，于是有转移dp[i+j][k] += dp[i][j] (j <= k <= i+j+1)

然后我们不必要每次都加，直接dp[i+j][j] += dp[i][j], dp[i+j][i+j+2] -= dp[i][j],每次再求个前缀和即可

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#include <algorithm>
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#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define INS(x) inserter(x, x,begin())
#define ll long long
#define CLR(x) memset(x, 0, sizeof x)
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int maxv = 5e3 + 10;
const double eps = 1e-9;

int sum[maxv];
int dp[maxv][maxv];
int main() {
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios_base::sync_with_stdio(0);
dp[0][1] = 1;
dp[0][2] = -1;
int n = 5000;
for(int i = 0; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j-1]) % MOD;
}
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(!dp[i][j]) continue;
dp[i+j][j] = (dp[i+j][j] + dp[i][j]) % MOD;
dp[i+j][i+j+2] = (dp[i+j][i+j+2] - dp[i][j]) % MOD;
}
}
for(int i = 0; i <= n; i++) {
for(int j = 0; j <= n; j++) {
if(i + j > n) break;
sum[i+j] = (sum[i+j] + dp[i][j]);
}
}
while(scanf("%d", &n) != EOF) {
printf("%d\n", sum
);
}
return 0;
}