DAG上的动态规划之嵌套矩形

　　题意描述：有n个矩形，每个矩形可以用两个整数a、b描述，表示它的长和宽，

　　　　　　　矩形（a,b）可以嵌套在矩形(c,d)当且仅当a<c且b<d,

　　　　　　　要求选出尽量多的矩形排成一排，使得除了最后一个外，

　　　　　　　每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内，如果有多解，矩形编号的字典序应尽量小

　　解题思路：<1>矩形之间的可嵌套关系是一个"二元关系"，二元关系可以用图来建模。

　　　　　　　如果矩形X可以嵌套在矩形Y里，就从X到Y连一条有向边（G[x][y]=1）。

　　　　　　　这个图是无环的，因为一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己内部，

　　　　　　　换句话说，他是一个DAG。

　　　　　　　这样，原问题便转化为求DAG上的最长路径。

　　　　　　　<2>那么如何求DAG最长上的最长路径呢？

　　　　　　　　 可定义状态: dp[i]表示从结点i出发所能到达的最长路径的长度

　　　　　　　　 那么： dp[i] = max(dp[j]) + 1, 其中G[i][j]=1，即i可嵌套在j中

　　　　　　　　 最后数组d中的最大值便是结果

　　　　　　　<3>如何保证最小字典序?

　　　　　　　　　在所有的d都计算出来以后，选择最大的d[i]所对应的i。

　　　　　　　　　如果有多个i，选择最小的i。（i即第一个起点）

　　　　　　　　　接下来可以选择d[i] = d[j]+1且(i,j)为边集的任何一个j,

　　　　　　　　　但为了保证字典序最小，应该选择其中最小的j，

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1005;
int dp[maxn];

struct Node{
int a, b;
bool operator<(Node& other){
if (a != other.a){
return a < other.a;
}
else{
return b < other.b;
}
}
}A[maxn];

void SWAP(int& x, int& y){
x ^= y;
y ^= x;
x ^= y;
}

void CMAX(int& x, int y){
if (y > x){
x = y;
}
}

int main()
{
#ifdef _LOCAL
freopen("D:\\input.txt", "r", stdin);
#endif

int n;
while (scanf("%d", &n) == 1){
for (int i = 1; i <= n; ++i){
//a为长,b为宽
scanf("%d%d", &A[i].a, &A[i].b);
if (A[i].a < A[i].b){
SWAP(A[i].a, A[i].b);
}
dp[i] = 1;
}//for(i)
sort(A + 1, A + n + 1);
//求b的最长上升子序列
int ans = 1;
int best = 0;
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i){
for (int j = 0; j < i; ++j){
if (A[j].a < A[i].a && A[j].b < A[i].b){
CMAX(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
if (dp[i] > ans){
ans = dp[i];
best = i;
}
//CMAX(ans, dp[i]);
}

printf("ans = %d\n", ans);
}

return 0;
}

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