最小二乘法多项式曲线拟合

概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

     给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

     


     2.使偏差绝对值最大的最小
     



     3.使偏差平方和最小

     


     按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

     1. 设拟合多项式为：

          


     2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

          


     3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： 

          


          


                         .......

          


     4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

          


          


                     .......

          


     5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

          


     6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

          


     7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

运行前提:

Python运行环境与编辑环境；
Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制
1855d
2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

[python] view
plain copy

# coding=utf-8  

  

''''' 

作者:Jairus Chan 

程序:多项式曲线拟合算法 

'''  

import matplotlib.pyplot as plt  

import math  

import numpy  

import random  

  

fig = plt.figure()  

ax = fig.add_subplot(111)  

  

#阶数为9阶  

order=9  

  

#生成曲线上的各个点  

x = numpy.arange(-1,1,0.02)  

y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]  

#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')  

#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"  

  

#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去  

i=0  

xa=[]  

ya=[]  

for xx in x:  

    yy=y[i]  

    d=float(random.randint(60,140))/100  

    #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')  

    i+=1  

    xa.append(xx*d)  

    ya.append(yy*d)  

  

'''''for i in range(0,5): 

    xx=float(random.randint(-100,100))/100 

    yy=float(random.randint(-60,60))/100 

    xa.append(xx) 

    ya.append(yy)'''  

  

ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')  

  

  

#进行曲线拟合  

matA=[]  

for i in range(0,order+1):  

    matA1=[]  

    for j in range(0,order+1):  

        tx=0.0  

        for k in range(0,len(xa)):  

            dx=1.0  

            for l in range(0,j+i):  

                dx=dx*xa[k]  

            tx+=dx  

        matA1.append(tx)  

    matA.append(matA1)  

  

#print(len(xa))  

#print(matA[0][0])  

matA=numpy.array(matA)  

  

matB=[]  

for i in range(0,order+1):  

    ty=0.0  

    for k in range(0,len(xa)):  

        dy=1.0  

        for l in range(0,i):  

            dy=dy*xa[k]  

        ty+=ya[k]*dy  

    matB.append(ty)  

   

matB=numpy.array(matB)  

  

matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)  

  

#画出拟合后的曲线  

#print(matAA)  

xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)  

yya=[]  

for i in range(0,len(xxa)):  

    yy=0.0  

    for j in range(0,order+1):  

        dy=1.0  

        for k in range(0,j):  

            dy*=xxa[i]  

        dy*=matAA[j]  

        yy+=dy  

    yya.append(yy)  

ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')  

  

ax.legend()  

plt.show()  

运行效果: 

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