牛顿迭代法求数的平方根

转自：http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下：

double sqr(double n) {
double k=1.0;
while(abs(k*k-n)>1e-9) {
k=(k+n/k)/2;
}
return k;
}

求n的平方根，先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0)，例如最简单的x(0)=1，然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x，代入次数越多解约精确。

例如，2的平方根：

x(0) = 1
x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就这样，反复代入上式计算，得到的值越来越精确。

或者这么解释：

对x的平方根的值一个猜想y。
通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测：只需要求出y和x/y的平均值（它更接近实际的平方根值）。

例如，可以用这样方式去计算2的平方根。

猜想	商	平均值
1	2/1=2	(2+1)/2 = 1.5
1.5	2/1.5=1.3333	(1.3333+1.5)/2 = 1.4167
1.4167	2/1.4167=1.4118	(1.4167+1.4118)/2=1.4142
1.4142	...	...

继续这一计算过程，我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

下面用C语言实现一遍：

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int main(void)
{
double n,y=1.0;

printf("请输入一个需要求其平方根的数：");
scanf("%lf",&n);

// 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
{
y=1.0/2.0*(y+n/y);
printf( "y=%lf\n", y );
}
printf("平方根为%f\n",y);
return 0;
}

[/code]

程序运行结果：

请输入一个需要求其平方根的数：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根为1.414216

请输入一个需要求其平方根的数：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根为1.732051

PS:Quake III（雷神之锤III）公开源码后，有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍，有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了，

float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y  = number;
i  = * ( long * ) &y;
i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
y  = * ( float * ) &i;
y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
// y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) );
#endif
#endif
return y;
}

[/code]