后缀自动机（SAM）学习笔记

构图及原理

定义

算法

后缀自动机（SAM）就是一个要实现能存下一个串中所有子串的算法，按一般来说应当有O(N2)O(N^2)个状态，而SAM却可以用O(N)个状态来表示所有子串，因为它把很多个本质相似的子串映射到了同一个状态上，从而实现了这个优美的算法。

点

SS：原串，我们要求的就是SS的后缀自动机。

RightstrRight_{str}：表示strstr在母串SS中所有出现的结束位置的集合。

ss（状态）：表示所有RightRight集相同的字符串合成的状态。

ParentsParent_s：表示RightRight集包含了RightsRight_s并且集合最小的状态。设转移的表示为trans(状态，字符)=状态trans(状态，字符) = 状态

边

parentparent边：一个状态指向它的ParentsParent_s。（而由parentparent边构成的树可以称为parentparent树）

′a′'a' ~ ′z′'z'（或某些字符）字符边：有一个状态，后面加上一个字符后所指向的状态。

注意：

1. 一个状态可以由多条字符边转移而来，因为它包含多个子串，但只能有一条ParentParent边转移来。

2. 一个状态连出去的字符边不一定所有包含的子串后都能接这个字母，只是代表有某些包含的子串后能接这个字母。

一些简单的性质

1.RightRight集的性质

对于两个子串aa, bb的RightRight，只有两种情况，有交集和没有交集。考虑有交集的情况，如果有交集，那么显然一个子串是另一个子串的后缀，设aa是bb的后缀，那么Rightb⊂RightaRight_b\subset Right_a。即对于两个子串的RightRight要么包含，要么没有交集。所以对于一个状态ss所表示的字符串，它们的右端点必定相同，而左端点必定是连续的一段。如下图：



如果一个状态的RightRight集越大，就说明符合的子串越多，那么限制肯定就越小，所以左端点距右端点的距离就越小。而随着右端点的向右移动，符合一种条件的子串就越来越少，所以RightRight集就会变小（当然可能会分出两组不同的状态）。我们令一个状态ss所表示的区间是[Mins,Maxs][Min_s, Max_s]，显然的Mins−1=MaxParentsMin_s - 1 = Max_{Parent_s},对于一个状态，我们记LensLen_s表示MaxsMax_s。

2.ParentParent树的性质

怎么理解ParentParent树？我们从叶子结点往根上走时，就是一些不相交的RightRight集不断合并的过程（因此我们不需要把RightRight集的全部节点存下来）。

如果trans(s1,c)=trans(s2,c)=trans(s3,c)....=ttrans(s1, c) = trans(s2, c) = trans(s3, c) .... = t,那么状态s1,s2,s3...s1, s2, s3 ...在ParentParent树上肯定是在一段连续的链上的。因为在这些子串的右端点加上一个字符cc后，它们的RightRight集又重新相等，证明它们本来就是包含且连续的关系。

ParentParent边简单来说，即表示不断寻找后缀的过程

构造方法

注：这里很多推理都是有上面的性质得来的，如有不理解的可以再回顾一下性质。

假设我们已经完成了前|S|−1|S| - 1个字符的插入（为TT串），现在插入第|S||S|个(cc)字符（为SS串）。

要想SAM继续保持它的功能，就要加入SS串的所有后缀。而SS串的所有后缀都可以由TT的后缀加一个字符转移而来。由于必定存在一个RightxRight_x仅为|T||T|的状态。并且根据ParentParent树的性质，它的祖先的RightRight集肯定也含有|T||T|，所以它们肯定构成了一条在ParentParent树中的链。所以我们只要沿着这条链就能找到所有TT的后缀。而我们讨论一下在ParentParent链上走的意义，即不断跳到当前字符串的后缀（当我们走完这条ParentParent链时就意味着|T|的所有后缀都遍历完了）

在沿着这条链走的时候会出现两种情况，假设到达的状态是xx。

（我们新加一个节点npnp，表示RightRight只含|S||S|的新状态。即lennp=|S|len_{np} = |S|）

trans(x,c)=Nulltrans(x, c) = Null：即当前这个状态没有沿cc转移的边，所以我们只要连一条为cc的字符边到npnp就处理完这种情况了。

trans(x,c)≠Nulltrans(x, c) \ne Null：假设第一个找到的节点为xx，转移到的节点为qq。那我们怎么把|S||S|这个位置加入RightqRight_q?我们发现，如果强行把|S||S|加入RightqRight_q中，可能会使qq节点出现矛盾，即lenqlen_q变小。我们来看一下下面这个例子：



如图，如果lenq=lenx+1len_q = len_x + 1那么就不会有这种问题，直接让Parentnp=qParent_{np} = q就可以了。但如果lenq>lenx+1len_q > len_x + 1,详细的说，就意味着有更多的子串共享qq这一个状态，如果|S||S|加进当前状态的RightRight集，可能会出现这个状态中的一些子串与到达|S||S|这个结束端点矛盾。如上面一些蓝色的串就不能放在后缀为|S||S|的位置，会与BB字符矛盾。那么讨论就要复杂点。我们可以把qq分成两种状态。如下图。



如图，我们可以把qq串分出一个nqnq来解决这个问题，只要我们把它再细分化，把符合结束位置为|S||S|的子串和不符合的分开。就可使nqnq的RightRight集包含|S||S|，从而解决这个问题。那么显然lennq=lenx+1len_{nq} = len_x + 1，由于nqnq是qq分出来的一个RightnqRight_{nq}包含RightxRight_x的状态，所以自然Parentq=nq,Parentnq=xParent_q = nq, Parent_{nq} = x，当然也要使Parentnp=nqParent_{np} = nq。并且考虑nqnq字符边的转移，由于结束位置为|S||S|的子串后是没有字符的所以它的转移状态是和qq一样的。

注意第一种情况一定是在第二种情况前出现的，而第二种情况就意味着一段段后缀的处理。

最后，我们还要处理别连向qq的状态，可以知道的是它们是连续一段的，所以把它们转移到qq的边都改为转移到nqnq的边就可以了。而对于其它有cc的字符边，且指向状态不为qq的，由于qq都已经能分离出合法状态了，那么那些节点的RightRight集都是可以直接加入|s||s|。至此，我们就已经把TT的所有后缀都建立了转移到SS后缀的方案。

程序

非常好实现。

//Suffix Automaton’s Build YxuanwKeith
//S为根，一开始tot = 1表示已经给根编号为1
void Add(int c) {
int Nt = ++ tot, p = Last;
//Last表示前缀T的最长后缀对应的状态。
Tr[Nt].Len = Tr[Last].Len + 1, Last = Nt;
for (; p && !Tr[p].Go[c]; p = Tr[p].Pre) Tr[p].Go[c] = Nt;
if (!p) Tr[Nt].Pre = S; else {
int q = Tr[p].Go[c];
if (Tr[p].Len + 1 == Tr[q].Len) Tr[Nt].Pre = q; else {
int Nq = ++ tot;
Tr[Nq] = Tr[q];
Tr[q].Pre = Tr[Nt].Pre = Nq;
Tr[Nq].Len = Tr[p].Len + 1;
for (; p && Tr[p].Go[c] == q; p = Tr[p].Pre) Tr[p].Go[c] = Nq;
}
}
}

例题及应用（未完成）

（未完待续……）

参考资料

张天扬《后缀自动机及其应用》（这个可以作为辅助资料）

陈立杰《Suffix Automaton后缀自动机》（这个讲的比较详细，容易理解）