汉诺塔系列专题（逐步理解递推递归）

最裸的汉诺塔：

第一步：把n-1个盘子移到B柱

第二步：把第n个柱子移到C柱

第三步：把n-1个盘子移到C盘

第一步和第三步是一样的，如果只需要求最少的步数，可以不管中间步骤，用递推直接写出即可

核心代码

a[1]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)

a[i]=2*a[i-1]+1;

最裸的弄懂当然是远远不够的，现在我们来看一些变形

hdu2175

输入n，m，问初始有n个盘子，问第m次移动的盘子号

咋看很麻烦，其实也是很简单的啦！

比如有4个盘子，我要看第4步的盘子。如果我3个盘子都移到目的柱，那一共需要7步，如果把2个盘子都移到目的柱那一共需要3步，所以第4步移动的盘子一定在前3个盘子中。

而我们可以利用这种思想不断递推/递归也行，直到正好等于把某些盘子移动到目的柱。

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,a[64],b[64];
void inial()
{
a[1]=1;b[0]=1;b[1]=2;
for(int i=2;i<64;i++)
{
a[i]=a[i-1]*2+1;
if(i<63)
b[i]=a[i]+1;
}
}
int sovle()
{
if(m==a[63])
return 1;
while(m>0)
{
int t=0;
while(t<63)
{
if(m>b[t])
t++;
else
break;
}
if(m==b[t])
return t+1;
m-=b[t-1];
}
}
int main()
{
inial();
while(cin>>n>>m&&n&&m)
{
cout<<sovle()<<endl;
}
return 0;
}

hdu2511

下面的题目比上一个更加进了一步

输入n，m问n个盘子，第m步移动的是哪个盘子，而且输出从哪个盘子移动到哪个盘子（比上一题进了一步）

大家想想。如果m步正好是k个盘子移动到目的柱，那么这时候肯定把1号盘由所在柱，移动k个盘所在的目的柱。1的所在柱就是我们递归函数中的所在柱，那么目的柱呢？大家想想我最开始讲的最裸的三部，要移动n个盘就把n-1个盘移动到B，那对于n-1个盘来说，中间B盘是目的柱，C是中间柱，那么对于n-2个盘来说目的柱是C柱，中间柱石B柱，那么判断k个盘的目的柱是哪个直接判断他与n的差的奇偶性即可。

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[64],m;
int t,n;
void inal()
{
a[1]=1;
for(int i=2;i<=63;i++)
a[i]=2*a[i-1]+1;
}
void sovle(int s,int t,int z,int n)
{//cout<<"----------- "<<s<<" "<<t<<" "<<z<<" "<<n<<endl;
int k=1;
while(k<64&&m-a[k]>0)
k++;
k--;
m-=a[k];
int d=(n-k)&1;
if(d==1)//1到k在第z上
{
if(m==0)
{
cout<<1<<" "<<s<<" "<<z<<endl;
return;
}
if(m==1)
{
cout<<k+1<<" "<<s<<" "<<t<<endl;
return;
}
m--;
sovle(z,t,s,k);
}
else//1到k在t上
{
if(m==0)
{
cout<<1<<" "<<s<<" "<<t<<endl;
return;
}
if(m==1)
{
cout<<k+1<<" "<<s<<" "<<z<<endl;
return;
}
m--;
sovle(t,z,s,k);
}
}
int main()
{
inal();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%I64d",&n,&m);
sovle(1,3,2,n);
}
return 0;
}

hdu2184

接下来咱们再进一步，第m步的时候输出三个柱子上的盘子的编号

如果直接看这题是不是会被吓到，但是有前面题目的积累，这题也只是进了一步而已。eg：4个盘子，第5步，3个盘子移到目的柱，则需要7步，2个盘子移到目的柱需要3步，

则这里可以判定第4个盘子肯定在原来的柱子上不动，那第3个盘子会移到中间柱上。写个递归函数是不是很方便呢？如何保存每个柱子上的盘子号呢？由于递归的性质，会大的盘子先确定，柱子上编号较小的盘子可能是在下一层递归中确定。输出是先输出大的再输出小的，先进先出，不就是队列么。

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[64],m;
int t,n,len[4];
queue<int> qu[4];
void inal()
{
a[1]=1;
for(int i=2;i<=63;i++)
a[i]=2*a[i-1]+1;
}
void sovle(int s,int t,int z,int n)
{
int k=1;
while(k<64&&m-a[k]>0)
k++;
k--;
for(int i=n;i>k+1;i--)
{
len[s]++;
qu[s].push(i);
}
m-=a[k];
int d=(n-k)&1;
if(d==0)
swap(z,t);
if(m==0)
{
for(int i=k;i>=1;i--)
{
len[z]++;
qu[z].push(i);
}
len[s]++;
qu[s].push(k+1);
return;
}
len[t]++;
qu[t].push(k+1);
if(m==1)
{
for(int i=k;i>=1;i--)
{
len[z]++;
qu[z].push(i);
}
return;
}
m--;
sovle(z,t,s,k);
}
int main()
{
inal();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
memset(len,0,sizeof(len));
scanf("%d%I64d",&n,&m);
sovle(1,3,2,n);
for(int i=1;i<=3;i++)
{
printf("%d ",len[i]);
printf("%d",qu[i].front());
qu[i].pop();
while(!qu[i].empty())
{
printf(" %d",qu[i].front());
qu[i].pop();
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}

hdu1995

问题把n个盘子移到目的柱，问第k个盘子在这过程中一共移动了多少次。

看上去很复杂的样子，但仔细想一想，第n个盘子只需要1次，第n-1个盘子只需要移动2次，你可以这么递归下去，当然有感觉的也可以直接找到规律，不说了，上代码

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t,n,k;
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&k);
ll ans=pow(2,n-k);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}

hdu1996

问n个盘子，移动到目的柱的过程中（不考虑最优的情况）会产生序列的总数，low题，每个哦案子不就可以在三个柱子上么，3的阶层就行了

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[31];
void inial()
{
a[0]=1;
for(int i=1;i<=30;i++)
a[i]=3*a[i-1];
}
int main()
{
inial();
int t,k;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&k);
printf("%I64d\n",a[k]);
}
return 0;
}

上面两题算是休息，现在来看看更加深入，更加有趣的汉诺塔，hdu1997，自己看题意啊

这题是不是一看到就把人吓到了，对于这种问题，肯定是递归的啦！现在的问题是递归什么，如果你要递归每一步，肯定会爆掉。我们要弄清楚我们可以确定什么，由于最裸的公式，我们可以确定，n在A或C，如果n确定了，那么我们需要考虑n-1。如果n在A，那还处于最裸的公式中的第一步，那么n-1只有在A或B，目的柱是B，起点是A，中间点是C。如果n到C，那一定经历过了第一步，那么n-1要么在C要么在B，起点是B，中间点是A，目的点是C

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=70;
int t,n,len[4],a[4][M],no[4],f=-1;
void input()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<3;i++)
{
scanf("%d",&len[i]);
for(int j=0;j<len[i];j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
void dfs(int A,int B,int C,int n)
{
if(f!=-1)
return;
if(n==0)
{
f=1;
return;
}
if(a[A][no[A]]==n)
{
no[A]++;//cout<<n<<" -------  "<<A<<endl;
dfs(A,C,B,n-1);
}
else
if(a[C][no[C]]==n)
{
no[C]++;//cout<<n<<" -------  "<<C<<endl;
dfs(B,A,C,n-1);
}
else
{
f=0;
return;
}

}
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
input();
no[0]=no[1]=no[2]=0;
f=-1;
dfs(0,1,2,n);//cout<<f<<endl;
if(f)
puts("true");
else
puts("false");
}
return 0;
}

我们做一些改变了规则的汉诺塔

hdu2064盘子不能直接从A到C，只能先由B在到C。

学会着递推公式，找不到的话，可以先模拟少数几个盘子

n-1个盘子先要移到C，n移到B，n-1个盘子移到A，n移到C，n-1个盘子移到C

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[37];
void Inial()
{
f[1]=2;
for(int i=2;i<36;i++)
f[i]=3*f[i-1]+2;
}
int main()
{
Inial();
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
cout<<f
<<endl;
}
return 0;
}

hdu2077

规则在hdu2064的基础上再变一下，最大的盘可以放在小的盘子的上面（最上面）

跟上题结合一下，n-1用上题的规则移到B，n移到B，再移到C，再把n-1个移到C

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[37],b[37];
void Inial()
{
a[1]=2;
b[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++)
{
a[i]=3*a[i-1]+2;
}
for(int i=2;i<=20;i++)
{
b[i]=b[i-1]+a[i-1]+1;
}
}
int main()
{
Inial();
int n,m;cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>m;
cout<<b[m-1]*2+2<<endl;
}
return 0;
}

hdu1207

规则又做了一次改变，这次有了四根柱子，这题的难点在于惯性思维（惯性思维害死人啊！！！），大家都用递推来做，其实是里面柔和了dp。大家自己感受下来自世界的深深的恶意。

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
double a[65],b[65];
void inial()
{
b[1]=1;
for(int i=2;i<65;i++)
b[i]=2*b[i-1]+1;
a[1]=1;
a[2]=3;
for(int i=3;i<=64;i++)
{
a[i]=b[i];
for(int j=1;j<i;j++)
{
a[i]=min(2*a[j]+b[i-j],a[i]);
}
}
}
int main()
{
int n;
inial();
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
cout<<a
<<endl;
}
return 0;
}