基础算法-插入排序

插入排序

使用插入排序的算法有直接插入排序和希尔排序。

直接插入排序

基本原理

条件：序列a1、a2、… an，分别取{a1}和{a2, a3, … an}为已排序列（从小到大的顺序）和待排序列。

第一步：取待排序列a2与已排序列{a1}中的a1比较：

若a1 <= a2则a2添加到已排序列的末尾即已排序列为{a1,a2};

若a1>a2则a2添加到已排序列的首位即已排序列为{a2, a1};

那么未排序列为{a3, a4,… an}。

第二步：取待排序列{a3, a4, … an}中的a3，分别与已排序列{a1, a2}(或{a2, a1})中的元素从尾到头比较即a3先与a2进行比较：若a3>=a2则a3加入已排序列，则已排序列变为{a1, a2, a3};

若a3< a2，则继续与a1进行比较：若a3>=a1则插入到已排序列a2的位置则已排序列变为{a1, a3, a2}；若

a3<a1

，则a3插入到已排序列a1的位置则已排序列变为{a3, a1, a2}。

第三步：直到取出所有的待排序列中的元素，并插入到已排序列中为止。

// 直接版
void insertSort(int a[], int n) {
for (int i = 1; i < n; ++i) { // i表示要插入元素的索引，在插入过程中不能改变
int key = i; // key表示插入元素在插入过程中的索引，可能随时改变
for (int j = i-1; j >= 0; --j) {
if (a[key] < a[j]) {
int tmp = a[key];
a[key] = a[j];
a[j] = tmp;
key = j;
}
}

}
}

// 一般版本
// 使用数学概念中的取值范围来确定要移动元素的索引范围
void insertSortOther(int a[], int n) {
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int j = i-1;
// 注意：循环的条件有两个：一个是数组索引范围，另一个是元素大小
while (j >= 0 && a[i] < a[j]) {
// j的取值范围：[-1,i-1](其中j索引为-1，即a[0]~a[i-1]都大于a[i]) 或 [ j, i-1](其中a[j] >= a[i])
j--;
}
int temp = a[i];
for (int k = i; k > j; k--) { // k=(j, i]
a[k] = a[k-1];
}
a[j+1] = temp; // j+1才是a[i]元素最终的位置索引
}
}

希尔排序

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。

基本原理

步骤1：序列{a1, a2, a3, … an}中以增量div 划分原序列为多个新的序列{a1, a(1+div), a(1+2*div)… a(1 + n*div)}, {a2, a(2+div), a(2+2*div)… a(2 + n*div)} …. {an, a(n+div), a(n+2*div)… a(n + n*div)};

步骤2：分别对新划分序列进行直接插入排序

步骤3：缩小div值div/ = 2，重新按步骤一方式划分子序列，进行直接插入排序

步骤n: 当div = 1时，对现有序列进行直接插入排序，得到排序后的序列。

希尔排序的时间性能优于直接插入排序的原因

当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。

当n值较小时，n和 的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0( )差别不大。

在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量di逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按di-1作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。

因此，希尔排序在效率上较直接插入排序有较大的改进。

实现

// 直接版
void swap(int *pa, int *pb) {
int tmp = *pa;
*pa = *pb;
*pb = tmp;
}

void shellSort(int a[], int n) {
// 增量div {5, 2, 1}
for (int div = 5; div > 0; div /=2) {
// 分组{0, 0+div, 0+2*div, ...},{1, 1+div, 1+2div,...},...
for (int i = 0; i < div; i++){
// 每一组进行直接插入排序
for (int j = i+div; j < n; j += div) {
int key = j; // key值在变化
for (int k = j-div; k >=0; k -= div) {
if (a[key] < a[k]) {
swap(a+key, a+k);
key = k;
}
}
}
}
}
}