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个人理解---中国剩余定理

2016-03-25 15:55 246 查看

a1 r1 a2 r2 a3 r3
有一个数x，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求x的最小值；

计算过程是：(70 * 2 + 21 * 3 + 15 * 2 ) % 105 = 23.

(N1 * R1 + N2 * R2 + N3 * R3) % N = x.

其中 70(N1)是5(A2)和7(A3)的最小公倍数，对3(A1)求余为1；
21(N2)是3(A1)和7(A3)的最小公倍数，对5(A2)求余为1；
15(N3)是3(A1)和7(A2)的最小公倍数，对5(A3)求余为1；

N 为3(A1),5(A2),7(A3)的最小公倍数.

那么就可以推广到：

x % A1 = R1，
x % A2 = R2，
x % A3 = R3，
x % A4 = R4,
......
x % An = Rn.
求最小的x，其中Ai为素数;

N = A1 * A2 * A3 * A4 * ... * An;

所以我们要求出Ni, Ni=A1 * A2 *...* Ai-1 * Ai+1 *... * An * Ki, 根据Ni%Ai=1来确定Ki的值

x = （R1*N1 + R2*N2 + R3*N3 + ... + Rn*Nn）% N ;因为要求的是：最小整数解，所以对N求余即可；

下面关键就是求Ni，即求Ki；
因为N是所有A的乘积，Ni为除Ai外的所有Ai的倍数，所以：
Ni = N / Ai * K;(K为任意整数)；---------式1；
又因为Ni对Ai求余为1，所以：
Ni = Ai * K0 + 1;(K0为任意整数)；-------式2；

从上面可以看出只要我们求出K或者K0就可以求出Ni了；

由1,2式得N / Ai * K = Ai * K0 + 1
化简得：(N/Ai)*K + (-Ai)K0 = 1;
不难看出上式满足ax + by = gcd(a, b)
由上面的分析知道N/Ai与-Ai一定互质即gcd(N/Ai, -Ai) = gcd(N/Ai, Ai) = 1;

所以可以用扩展欧几里德来求解K和K0；

#include<stdio.h>

#define MAXN 22

int n, N0;

void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return ;
}
ex_gcd(b, a%b, x, y);

int temp = x;

x = y;

y = temp - a/b * y;

if(a*b<0)///如果a和b异号那么x和y取反；理由不太清楚；
{
x = -x;
y = -y;
}
}

int China(int N[], int A[], int R[])
{
int x = 0;

for(int i=1; i<=n; i++)
{
int K, K0;

ex_gcd(N0/A[i], -A[i], K, K0);

N[i] = A[i] * K0 + 1; ///或者 N[i] = N0/A[i] * K;

x = (x + N[i] * R[i] + N0) % N0;
}
return (x+N0)%N0;///防止出现负数；
}

int main()
{
int A[MAXN], R[MAXN],  N[MAXN];

scanf("%d", &n);

N0 = 1;

for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d %d", &A[i], &R[i]);

N0 *= A[i];
}
int x = China(N, A, R);

printf("%d\n", x);

return 0;
}

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