动态规划算法之最长递增子序列问题

一、问题描述

在数字序列A中，按下标递增的顺序选出一个子序列B，如果选出的子序列B是严格递增的，则该子序列B称为原数字序列A的递增子序列。最长递增子序列问题就是找到原数字序列A中最长的递增子序列。例如数字序列5,2,8,6,3,6,9,7的一个最长递增子序列为2,3,6,9。

二、问题分析

动态规划函数为

L(i) = 1, i = 1或者不存在A[j] < A[i] (1 <= j < i)

= max(L(j) + 1) 所有下标为1 <= j < i中，存在A[j] < A[i]

其它分析详见算法代码注释。

三、算法代码

public static void maxAscLen(int [] arr){
int n = arr.length;
int [] lens = new int
;//保存以每个元素i结尾的递增子序列长度
int [][] lensArr = new int

;//保存以每个元素i结尾的递增子序列
for(int i = 0; i <= n - 1; i++){//初始化辅助空间
lens[i] = 1;
lensArr[i][0] = arr[i];
}

for(int i = 0; i <= n - 1; i++){
int curMaxLen = 1;
for(int j = i - 1; j >= 0; j--){//从后往前寻找
if(arr[i] > arr[j] && lens[j] + 1 > curMaxLen){
curMaxLen = lens[j] + 1;//更新以元素i结尾的最长递增子序列长度
lens[i] = curMaxLen;
for(int k = 0; k <= lens[j]; k++){//把以元素j结尾的最长递增子序列拷贝到以元素i结尾的最长递增子序列中
lensArr[i][k] = lensArr[j][k];
}
lensArr[i][lens[i] - 1] = arr[i];
}
}
}

//寻找最大递增子序列长度的元素下标
//这里只能找到第一个最长递增子序列的下标，例如本例中的最长子序列分别为{2，3，6，9}，{2，3，6，7}
//也即这里只能返回9的下标
int index = 0;
for(int i = 0; i <= n - 1; i++){
if(lens[index] < lens[i]){
index = i;
}
}

//这里只能输出一个最长递增子序列
System.out.println("最大递增子序列长度：" + lens[index]);
System.out.print("最大递增子序列为：");
for(int i = 0; i <= lens[index] - 1; i++){
System.out.print(lensArr[index][i] + " ");
}
System.out.println();

//		return lens[index]; //可以返回最大最大递增子序列长度
}

四、完整测试代码

public class Solution {

public static void main(String [] args){
int [] randArr = new int[]{5,2,8,6,3,6,9,7};
maxAscLen(randArr);
}
public static void maxAscLen(int [] arr){
int n = arr.length;
int [] lens = new int
;//保存以每个元素i结尾的递增子序列长度
int [][] lensArr = new int

;//保存以每个元素i结尾的递增子序列
for(int i = 0; i <= n - 1; i++){//初始化辅助空间
lens[i] = 1;
lensArr[i][0] = arr[i];
}

for(int i = 0; i <= n - 1; i++){
int curMaxLen = 1;
for(int j = i - 1; j >= 0; j--){//从后往前寻找
if(arr[i] > arr[j] && lens[j] + 1 > curMaxLen){
curMaxLen = lens[j] + 1;//更新以元素i结尾的最长递增子序列长度
lens[i] = curMaxLen;
for(int k = 0; k <= lens[j]; k++){//把以元素j结尾的最长递增子序列拷贝到以元素i结尾的最长递增子序列中
lensArr[i][k] = lensArr[j][k];
}
lensArr[i][lens[i] - 1] = arr[i];
}
}
}

//寻找最大递增子序列长度的元素下标
//这里只能找到第一个最长递增子序列的下标，例如本例中的最长子序列分别为{2，3，6，9}，{2，3，6，7}
//也即这里只能返回9的下标
int index = 0;
for(int i = 0; i <= n - 1; i++){
if(lens[index] < lens[i]){
index = i;
}
}

//这里只能输出一个最长递增子序列
System.out.println("最大递增子序列长度：" + lens[index]);
System.out.print("最大递增子序列为：");
for(int i = 0; i <= lens[index] - 1; i++){
System.out.print(lensArr[index][i] + " ");
}
System.out.println();

//		return lens[index]; //可以返回最大最大递增子序列长度
}
}

五、运行结果

最大递增子序列长度：4
最大递增子序列为：2 3 6 9