LeetCode 204. Count Primes

注：质数从2开始，2、3……

改进过程：

一、常规思路是对小于n的每一个数进行isPrime判断，isPrime(intx)函数中for(inti=2;i<=x/2;++i)，如果x%i==0，returnfalse。

二、将isPrime(intx)中i的范围改为i*i<=x。不用i<=sqrt(x)，因为sqrt耗时。

三、isPrime中把是2、3、5倍数的数直接return，不进入for循环。

四、对于每一个数p，p2、p2+p、p2+2p……均不为素数，有点像动态规划的思想。此时可以不用isPrime(intx)函数，而是维护一个isPrime
的bool数组，先设里面所有的值均为true，然后i从3开始循环（对应的是如果输入n<3，直接return0）。因为会把i2之后的一系列数在isPrime数组中的值变为false，因此i循环至i*i<n。

关于if(!isPrime[i])continue;这一句解释一下。如果isPrime[i]==false，那么也就是说在之前的i循环里被标记过了。设之前的循环的数为p，那么i=p2+np，如果没有continue这一句的话，那么j=i*i，设j也等于p2+mp，于是得到等式(p2+np)2=p2+mp，解得m=p((p+n)2-1)，也就是说j之前在p循环时已经被标记过了，因此可以直接continue，节省时间。以下是代码，也是题目提示中给出的最优代码。

publicintcountPrimes(intn){
boolean[]isPrime=newboolean
;
for(inti=2;i<n;i++){
isPrime[i]=true;
}
//Loop'sendingconditionisi*i<ninsteadofi<sqrt(n)
//toavoidrepeatedlycallinganexpensivefunctionsqrt().
for(inti=2;i*i<n;i++){
if(!isPrime[i])continue;
for(intj=i*i;j<n;j+=i){
isPrime[j]=false;
}
}
intcount=0;
for(inti=2;i<n;i++){
if(isPrime[i])count++;
}
returncount;
}

五、在最后计算cnt时，从2开始到n-1都被判断了一遍，但是偶数绝对不是素数，因此是没必要访问其在数组isPrime中的值的。

既然计算cnt时可以跳过偶数，那么在之前的标记isPrime的for循环里，也可以跳过偶数，相应的j每次+=2*i，因为p(p+1)必定为偶数。

所以for循环里依次变为i+=2,j+=2*i,i+=2（上一步为++i,j+=i,++i）。

最终版代码

classSolution{
public:
intcountPrimes(intn){
if(n<3)return0;
bool*isPrime=newbool
;
for(inti=3;i<n;++i)
isPrime[i]=true;

for(inti=3;i*i<=n;i+=2){
if(!isPrime[i])continue;
for(intj=i*i;j<n;j+=2*i)
isPrime[j]=false;
}

intcnt=1;
cout<<isPrime[9]<<endl;
for(inti=3;i<n;i+=2){
if(isPrime[i])++cnt;
}
returncnt;
}
};