每日一算法---寻找丑数

题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

　　分析：寻找一个数是不是满足某种数（质数，水仙数）等，最简单的方法就是遍历，对于任意一个丑数必定可以写成2^m*3^n*5^p，因而对于一个丑数，只含有2，3，5因子，也就意味着该数number%2==0；number%3==0；number%5==0，如果一个数能被2整除，我们就连续除以2；能被3整除，我们就连续除以3；能被5整除，我们就连续除以5；如果最后得到1，则该数是素数，否则是丑数。

#include<stdio.h>
//判断一个给定的数number是否是丑数
int IsUgly(int number)
{
while(number % 2 == 0)
{
number /= 2;
}
while(number % 3 ==0)
{
number /= 3;
}
while(number % 5 ==0)
{
number /= 5;
}
return(number == 1)?1:0;
}

//返回从1开始第index个丑数
int GetUglyNumber(int index)
{
if(index <= 0)
{
return 0;
}

int number=0;
int count=0;
while(count < index)
{
++number;
if(IsUgly(number))
{
++count;
}

}

return number;
}

int main()
{
int idx = 0;
printf("Enter A Number:");
scanf("%d",&idx);
printf("%d",GetUglyNumber(idx));
printf("\n");

return 0;
}

然而上面的算法特点是逐一遍历，当计算量足够大时该算法的效率愈显低下，这就迫使我们寻找更高效的算法。。。。。。

思考：如果能够根据已经计算好的丑数，计算出下一个丑数就可以避免这种情况，实现从丑数到丑数的高效算法，根据定义可知，后面的丑数肯定是前面已知丑数乘以2，3，5得到的。

我们假设一个数组中已经有若干丑数，并且这些丑数是按顺序排列的，我们把现有的最大丑数记为max，则下一个丑数肯定是前面丑数乘以2，3，5得到的。不妨考虑乘以2得到的情况，我们把数组中的每一个数都乘以2，由于原数组是有序的，因为乘以2后也是有序递增的，这样必然存在一个数M2，它前面的每一个数都是小于等于max，而包括M2在内的后面的数都是大于max的，因为我们还是要保持递增顺序，所以我们取第一个大于max的数M2。同理对于乘以3的情况，可以取第一个大于max的数M3，对于乘以5的情况，可以取第一个大于max的数M5。

　　最终下一个丑数取:min{M2,M3,M5}即可

　　代码如下：

　　

#include<stdio.h>
int getuglynum(int index);
int main()
{
int index;
int count = 0;
printf("请输入你要找的第几个丑数(其中1为第一个丑数)：\n");
scanf("%d",&index);
count = getuglynum(index);
printf("%d",count);
return 0;
}
int Min(int num1,int num2,int num3)
{
//printf("%d %d %d\n",num1,num2,num3);
int min = (num1 < num2)? num1 : num2;
min = (min < num3) ? min : num3;
return min;
}

int getuglynum(int index)
{
int *data = new int[index];
data[0] = 1;
int *data2 = data;
int *data3 = data;
int *data5 = data;
int count = 1;
int min = 0;
while(count < index){
min = Min(*data2 *2,*data3 *3,*data5 *5);
data[count] = min;
while(*data2 * 2 <= data[count]){
++data2;
}
while(*data3 * 3 <= data[count]){
++data3;
}
while(*data5 * 5 <= data[count]){
++data5;
}
++count;
}
return data[count-1];
}

　第二种方法由于不需要在非丑数的整数花费时间，因而时间复杂度要小很多，在C-Free+win7的平台上，index=1500时，方法1的运行时间为40s，方法2的时间是1s；然而方法2需要动态分配内存，占用空间，而方法1则没有这样的内存开销。说白了，第二种方法是用空间换时间。