【2011集训队出题】Crash的数字表格

Description

求∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)

n,m<=10^7

Solution

（注意，以下内容默认n<=m）

看着lcm不爽，把它变一变：

∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)

莫比乌斯反演常用，枚举gcd

∑d=1n1d∑i=1n∑j=1,gcd(i,j)=dmij

设f(d)=∑i=1n∑j=1,gcd(i,j)=dmij

则Ans=∑d=1nf(d)d

考虑反演常用，设g(d)=∑i=1n∑j=1,d|gcd(i,j)mij

即g(d)=∑x=1⌊nd⌋f(xd)

可以发现，g(d)=∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋d2ij

g(d)=d2∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋ij

g(d)=d2∑i=1⌊nd⌋i∑j=1⌊md⌋j

g(d)=d2⌊nd⌋(⌊nd⌋+1)⌊md⌋(⌊nd⌋+1)4

根据反演得f(d)=∑i=1⌊nd⌋μ(i)g(di)

f(d)=∑i=1⌊nd⌋μ(i)d2i2⌊ndi⌋(⌊ndi⌋+1)⌊mdi⌋(⌊ndi⌋+1)4

Ans=14∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋μ(i)i2⌊ndi⌋(⌊ndi⌋+1)⌊mdi⌋(⌊ndi⌋+1)

这样发现后面的值只和⌊ndi⌋和⌊mdi⌋有关于是就可以分块了。（分块大法好！）

然后求和再用一次分块。（分块大法好！）

这样就可以O(n)解决问题了。（分块大法好！）

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
#define mo 20101009
#define N 10000005
using namespace std;
int p
,tot,mi
,mu
;
bool f
;
ll n,m,ans;
ll sum(ll l,ll r) {return (r+l)*(r-l+1)/2%mo;}
ll get(ll x,ll y) {return ((x*(x+1)/2)%mo)*((y*(y+1)/2)%mo)%mo;}
int main() {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);mu[1]=1;
fo(i,2,n) {
if (!f[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
fo(j,1,tot) {
int k=p[j]*i;if (k>n) break;f[k]=1;
if (!(i%p[j])) break;mu[k]=-mu[i];
}
}
fo(i,1,n) mi[i]=(mi[i-1]+mu[i]*i%mo*i%mo)%mo;
ll l=1,r;
while (l<=n) {
ll nn=n / l,mm=m / l;r=min(n/nn,m / mm);
ll le=1,ri,an=0;
while (le<=nn) {
ll x=nn/le,y=mm/le;ri=min(nn/x,mm/y);
an=(an+(mi[ri]-mi[le-1])%mo*get(x,y)%mo)%mo;le=ri+1;
}
ans=(ans+sum(l,r)*an%mo)%mo;l=r+1;
}
printf("%lld",(ans+mo)%mo);
}