挑战P66 有关计数问题的dp

1.划分数

有n个相同的物品，将他们划分为不超过m组的划分方法，求出划分方法模M的余数

input:4 3

ouput:4

这是关于整数划分的题目，设

dp[i][j]为将i划分为不超过j组的划分方法，则，

若任意划分中的ai>0，则对应dp[i-j][j]的划分方法

若存在ai==0，则对应dp[i][j-1]

所以，dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]

注意边界处理，dp[0][0]=1,0<=i<=n,1<=j<=m，

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10010;
int n,m,dp[maxn][maxn];

int solve(int n,int m)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
//我觉得dp最难处理的就是边界了，心累，每次都不值怎么找边界值
dp[0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(i>=j)
dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
else
dp[i][j]=dp[i][j-1];
}
}
/*for
4000
(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
cout<<dp[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
return dp
[m];
}
int main()
{
cin>>n>>m;
cout<<solve(n,m)<<endl;
return 0;
}


2.多重集组合数
题意：有n种物品，每种物品有ai个，从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？

令dp[i][j]为前i种物品选出j个的组合总数

则，dp[i][j]=sum{dp[i-1][j-k](0<=k<=min(j,a[i]))}

即从i个物品中取出j个，可以从i-1个物品中选出j-k个，再从第i种物品中取出k个

，但是这种定义复杂度比较大。我们可以看出，其实在向右求解的时候会有重复求解，所以，转移方程还可以化成：

sum{dp[i-1][j-k]}=sum{dp[i-1][j-1-k]}+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];

刚开始这化解不太懂，反应能力理解能力太差了，后来模拟一遍才慢慢理解，。。

所以，递推方程为：

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];

这道题有个很重要的思想就是先写出比较简单的转移方程，然后慢慢找出子结构重复的部分再化简。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10010;
int n,m,dp[maxn][maxn],a[maxn];

int solve(int n,int m)
{
for(int i=0;i<=m;i++)
//一个都不取的方法只有一种
dp[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(j-1-a[i]<0)
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];
}
}
/*for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
cout<<dp[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
return dp
[m];
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
cout<<solve(n,m)<<endl;
return 0;
}