一个和圆内接多边形有关的命题

某月某日的时候和蔡神在熊熊烈日下进行某实验的时候，本来在刷单词的窝看到了一个帖子，里面有一个有趣的问题，但却一时间没能解决这个问题：

给定圆内接凸nn边形，且nn个角均相同，求证当nn为奇数时为正多边形，若为偶数时，不一定为正多边形。

说实话这是一个好问题，今天午觉起来想到了一个思路，本来想着又圆内接又正多边形是不是可以用复数上会比较拉风，后来发现实际上并没有这么复杂，科科。

若nn为奇数那么一定为正多边形

首先考虑每个角的大小，若n=3n=3时命题显然成立，若4≤n4\leq n时，由于任意凸nn边形的内角和π⋅(n−2)\pi \cdot(n-2)，那么由题意，每个角的都是钝角：

angle=π⋅(n−2)n=π⋅(1−2n)>π/2angle=\frac{\pi \cdot(n-2)}{n}=\pi \cdot (1-\frac{2}{n})>\pi/2

那么考察如下图形，不妨设nn边形的nn个顶点为A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_n,



那么对于△A1A2A3\triangle A_1A_2A_3和△A4A2A3\triangle A_4A_2A_3，注意到这两个三角形是全等的，全等条件是SSA，一般情况下SSA的全等条件是不满足的，只有在钝角三角形的时候才会满足。正好，我们已经证明了他们都是钝角三角形，于是有A1A2=A3A4A_1A_2=A_3A_4，同理我们有：

AK+1AK+2=AK+3AK+4A_{K+1}A_{K+2}=A_{K+3}A_{K+4}

i.e.假设这nn条边分别称为1,2,3,…nn的话，那么有1=3=5=…=2k+1=…，显然若nn为偶数，那么1=3=5=…=2k+1=…将会循环，若为奇数则1=3=5=…=2k+1=…n=2=4=…,故所有边均相等，命题得证。

若nn为偶数那么不一定为正多边形

下面将对偶数情况进行构造，以8边形为例，首先如图所示，构造



正四边形（黑色），分别同向（此处为顺时针）方向构造四条长度相等线段（如红色线所示），连接所有端点，容易证明所构造的8边形为各内角相同，且不为正8边形。类似地，对2k2k边形，先构造正kk边形，然后同样地构造kk条同向等距线段，最后将各端点相连即可。