求两个有序数组的中位数-算法导论

Question

There are 2 sorted arrays A and B of size n each. Write an algorithm to find the median of the array obtained after merging the above 2 arrays(i.e. array of length 2n). The complexity should be O(log(n))。

有两个排序的数组，长度都为n，求合并后的排序数组的中位数。

题目是《算法导论》上的一道习题，不过已多次出现在面试题当中。注意，此题中两个数组的长度是相等的。当然，长度不等的话也可以做，只是要多些判断条件。参考leetcode题目 Median of Two Sorted Arrays

方法1 直接遍历

直接的解法是遍历两个数组并计数，类似归并排序里面的有序数组的合并，复杂度为O（n）。代码如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

double getMedian(int arr1[],int arr2[], int n)

{
int i=0,j=0; //分别是 arr1， arr2的当前下标
int m1=-1,m2=-1; //保存两个中位数. 由于是2n个，肯定有两个中位数
for(int cnt=0; cnt<=n; cnt++)

{
if( i<n && (arr1[i] < arr2[j] || j >= n ))

{
m1 = m2;
m2 = arr1[i++];
}

else

{
m1 = m2;
m2 = arr2[j++];
}
}
return (m1+m2)/2.0;
}

int main()
{
int ar1[] = {1, 12, 15, 26, 38};
int ar2[] = {2, 13, 17, 30, 45};

int n1 = sizeof(ar1)/sizeof(ar1[0]);
int n2 = sizeof(ar2)/sizeof(ar2[0]);
if (n1 == n2)
printf("Median is %lf", getMedian(ar1, ar2, n1));
else
printf("Doesn't work for arrays of unequal size");
return 0;
}

方法2 分治法

要求的复杂度为O(log (m+n))，很显然需要用分治法求解。

假设数组A的中位数为m1，数组B为m2，例如：

ar1[] = {1, 12, 15, 26, 38}
ar2[] = {2, 13, 17, 30, 45}

m1 = 15 ，m2 = 17 。由于m1<m2，则可以确定中位数即为下面两个子数组的中位数 ：

[15, 26, 38] 和 [2, 13, 17]

重复这个步骤，可以得到 m1 = 26 m2 = 13. 得到两个子数组：

[15, 26] 和[13, 17]

这时，由于n=2，无法在继续分下去了。可以直接计算得：

median = (max(ar1[0], ar2[0]) + min(ar1[1], ar2[1]))/2
= (max(15, 13) + min(26, 17))/2
= (15 + 17)/2
= 16

代码如下：

int median(int arr[], int n)
{
if (n%2 == 0)
return (arr[n/2] + arr[n/2-1])/2;
else
return arr[n/2];
}

int getMedian(int ar1[], int ar2[], int n)

{
int m1;
int m2;
if (n <= 0)
return -1;
if (n == 1)
return (ar1[0] + ar2[0]) / 2;

if (n == 2)
return (max(ar1[0], ar2[0]) + min(ar1[1], ar2[1])) / 2;

m1 = median(ar1, n);
m2 = median(ar2, n);
/* 相等可直接返回 */
if (m1 == m2)
return m1;
if (m1 < m2)

{
if (n % 2 == 0)
return getMedian(ar1 + n/2-1, ar2, n/2 + 1);
else
return getMedian(ar1 + n/2, ar2, n/2+1);
}

else

{
if (n % 2 == 0)
return getMedian(ar2 + n/2-1, ar1, n/2+1);
else
return getMedian(ar2 + n/2, ar1, n/2+1);
}
}

int main()
{
int ar1[] = {1, 12, 10, 26, 38};
int ar2[] = {2, 13, 17, 30, 45};

int n1 = sizeof(ar1)/sizeof(ar1[0]);
int n2 = sizeof(ar2)/sizeof(ar2[0]);
if (n1 == n2)
printf("Median is %d", getMedian(ar1, ar2, n1));
else
printf("Doesn't work for arrays of unequal size");
return 0;
}

时间复杂度为 O(logn)。