图论相关算法理解和总结

晚上学习了一些图论相关算法:

单源最短路径算法:

Bellman-Ford 算法:

Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年，而实际上 Edward F. Moore 也在 1957 年发布了相同的算法，因此，此算法也常被称为 Bellman-Ford-Moore 算法。

Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。一个实现的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的运行时间要低。

Bellman-Ford 算法采用动态规划（Dynamic Programming）进行设计，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。Dijkstra 算法采用贪心算法（Greedy Algorithm）范式进行设计，普通实现的时间复杂度为 O(V2)，若基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本则时间复杂度为 O(E + VlogV)。

Bellman-Ford 算法描述：

创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0；
计算最短路径，执行 V - 1 次遍历；
对于图中的每条边：如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d；
检测图中是否有负权边形成了环，遍历图中的所有边，计算 u 至 v 的距离，如果对于 v 存在更小的距离，则说明存在环；

代码:

//从顶点from指向顶点to的权值为cost的边
struct edge{
int from,to,cost;
};

edge es[MAX_V];//边

int d[MAX_V];  //最短距离
int V,E;       //V是顶点数,E是边数

//求解从顶点s出发到所有点的最短距离
void shortest_path(int s)
{
for(int i=0; i<V; i++)
d[i] = INF;  //0x3f3f3f3f
d[s]=0;
while(true){
bool update=false;
for(int i=0; i<E; i++){
edge e=es[i];
if(d[e.from]!=INF && d[e.to] >d[e.from]+e.cost){
uopdate=true;
}
}
if(!update)
break;
}
}

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图



STL代码:

struct edge{int to, cost;};//图的边
typedef pair<int,int> P;//保存的结果，first为最短距离，second为相应顶点

int V;
vector<edge> G[MAX_V];
int d[MAX_V];

void dijkstra(int s){
//通过制定greater<P>参数,堆按照first从小到大的顺序取出值
priority_queue<P,vector<P>,greater<P>> que;
fill(d,d+V,INF);
d[s]=0;
que.push(P(0,s));

while(!que.empty()){
P p=que.top(); que.pop();
int v=p.second;
for(int i=0;i<G[v].size;i++){
edge e=G[v][i];
if(d[e.to]>d[v]+e.cost){
d[e.to]=d[v]+e.cost;
que.push(P(d[e.to],e.to));
}
}
}
}

代码实现:

#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 101

int dis[MAX],vis[MAX];
int mp[MAX][MAX];

int dijkstra(int s,int e)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1; i<=e; i++)
dis[i]=mp[s][i];
dis[s]=0;
vis[s]=1;
while(true){
int min=INF;
int p;
for(int i=1; i<=e; i++){
if(!vis[i] && dis[i]<min){
min=dis[i];
p=i;
}
}
if(min==INF)
break;
vis[p]=1;
for(int i=1; i<=e; i++){
if(!vis[i] && dis[i]>min+mp[p][i])
dis[i]=min+mp[p][i];
}
}
}

SPFA:

是一种求单源最短路的算法

几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步

1.初始化

2.松弛操作

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

int spfa(int s)
{
queue<int> q;
while(!q.empty())
q.pop();
q.push(s);
dis[s]=1.0;
vis[s]=1;
num[s]++;
while(!q.empty()){
s=q.front();
q.pop();
vis[s]=0;
for(int i=0; i<list[s].size(); i++){
int p=list[s][i];
if(dis[p]<dis[s]*mp[s][p]){
dis[p]=dis[s]*mp[s][p];
if(!vis[p]){
vis[p]=1;
q.push(p);
num[p]++;
if(num[p]==n)
return 0;
}
}
}
}
return 1;
}

int spfa_bfs(int s)
{
queue <int> q;
memset(d,0x3f,sizeof(d));
d[s]=0;
memset(c,0,sizeof(c));
memset(vis,0,sizeof(vis));

q.push(s);  vis[s]=1; c[s]=1;
//顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
int OK=1;
while(!q.empty())
{
int x;
x=q.front(); q.pop();  vis[x]=0;
//队头元素出队，并且消除标记
for(int k=f[x]; k!=0; k=nnext[k]) //遍历顶点x的邻接表
{
int y=v[k];
if( d[x]+w[k] < d[y])
{
d[y]=d[x]+w[k];  //松弛
if(!vis[y])  //顶点y不在队内
{
vis[y]=1;    //标记
c[y]++;      //统计次数
q.push(y);   //入队
if(c[y]>NN)  //超过入队次数上限，说明有负环
return OK=0;
}
}
}
}

return OK;

}

求多源、无负权边的最短路:

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

代码:

1 int d[MAX_V][MAX_V];  //d[u][v] 表示边e=(u,v)的权值(不存在时设为INF,不过d[i][i]=0)
2 int v;
3
4 void warshall_floyd(){
5     for(int k=0; k<V; k++)
6         for(int i=0; i<V; i++)
7             for(int j=0; j<V; j++)
8                 d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
9 }

最小生成树:

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

给定一个无向图,如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树,那么这课树就叫做生成树(Spanning Tree).如果边上有权值,那么是的边权和最小的生成树叫做最小生成树(MST,Minimum Spanning Tree)

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

代码:

void prim()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,INF,sizeof(dis));
dis[1]=0;
ans=0;
dis[0]=INF;
while(true){
int m=0;
for(int i=1; i<=n; i++){
if(!vis[i] && dis[i]<dis[m])
m=i;
}
if(m==0)
break;
vis[m]=1;
ans+=dis[m];
for(int i=1; i<=n; i++)
dis[i]=min(dis[i],mp[m][i]);
}
}

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew中

struct edge{int u,v,cost;};

bool cmp(edge &e1,const edge &e2){
return e1.cost < e2.cost;
}

edge es[MAX_E];
int V,E;   //顶点数和边数

int kruskal(){
sort(es,es+E,cmp);       //按照edge.cost的顺序从小到大排列
init_union_find(V);      //并查集的初始化
int res=0;
for(int i=0; i<E; i++){
edge e=es[i];
if(!same(e.u,e.v)){
unite(e.u,e.v);
res+=e.cost;
}
}
return res;
}

参考书籍:<<挑战程序设计竞赛>>

参考博客:http://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/11618651
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6181485