数学常数e的含义
2016-03-14 17:39
471 查看
数学常数e
什么是e?简单说,e就是增长的极限。就像数字是1(基本单元)的缩放一样,每个圆也可以看出是单位圆(半径1)的缩放,每个增长率也可以说是e(单位增长率,复合增长)的缩放。
e说明所有连续增长系统都是基于一个共同的增长率上。
一个例子来解释:
假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。
那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式:
上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样:
其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率。
我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。
那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?
当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828…。
因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。
有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。
假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?
回答就是271.828元,等于100个e。
但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢?
为了便于思考,我们取n等于50:
我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000所得到的值非常接近e:
因此,5%利息率就相当于e的20分之一次方:
20分之一正好等于5%的利率率,所以我们可以把公式改写成:
上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长。
再考虑时间因素,如果把钱在银行里存2年,可以得到多少钱?
在时间t的情况下,通用公式就是:
上式就是计算增长量的万能公式,可以适用于任何时间、任何增长率。
回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间?
计算结果是13.86年:
上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是72法则的来源。
源:http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/07/mathematical_constant_e.html
相关文章推荐
- javaScript字体变大
- Git与Repo入门
- gpexpand error:Do not have enough valid segments to start the array.
- 软件工程学习之小学四则混合运算出题软件 Version 1.1 设计思路及感想
- 只有20%的iOS程序员能看懂:详解intrinsicContentSize 及 约束优先级/content Hugging/content Compression Resistance
- DevSecOps 实施篇!系列(二)
- 后缀数组学习笔记
- 制作一个注册网页(2)并实现自动发送邮箱
- ORA-01033的解决办法
- 记下liblinear在Windows下的使用
- 渗透场景篇--当XSS遇上CSRF
- git
- 将java项目打包成jar,war包,等 web工程打包成jar war
- flask-bootstrap 模板 +用户界面+自定义错误页面
- Spring+Mybatis的整合(中)
- 20160314中艺收盘分析
- 组合数问题--------一种新的 搜索 思路
- 10001 - Garden of Eden 题意解析
- 可变字符串改变颜色大小
- spring mvc请求流程