Math

以下是书上关于数学准备的一些知识，我只摘录了一小部分。

求和

1）一下两种求和方式是等价的：

int sum1(int a[],int n)
{
int sum=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
for(int j=0;j<=i;++j)
{
sum+=a[i]*a[j];
}
}
return sum;
}

int sum2(int a[],int n)
{
int sum1=0,sum2=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
sum1+=a[i];
sum2+=a[i]*a[i];
}
sum1*=sum1;
sum1+=sum2;
return sum1/2;
}

2）两种方式求几何级数：

int sum1_of_GS(int a,int x,int n)
{
int sum=1,tmp=x;
for(int i=1;i<n;++i)
{
sum+=x;
x*=tmp;
}
return sum*a;
}

int sum2_of_GS(int a,int x,int n)
{
int tmp=x;
for(int i=1;i<n;++i)
{
x*=tmp;
}
return (1-x)/(1-tmp)*a;
}

3）两种方式求几何级数：

int sum1_of_AP(int a,int b,int n)
{
int sum=0;
do
{
sum=sum+a+n*b;
}while(n--);
return sum;
}

int sum2_of_AP(int a,int b,int n)
{
return (a+b*n/2)*(n+1);
}

个人认为：计算机更喜欢计算循环次数少以及乘法次数少的程序。再优化程序时可以从降低循环次数以及减少乘法次数上入手。

数论

A、如果a ≡ b 和 x ≡ y，则a+x ≡ b+y , 且 a*x ≡ b*y (mod m).

B、如果a*x ≡ b*y 和 a ≡ b 且如果 a⊥b (⊥表示互素) , 则 x ≡ y (mod m).
C、a ≡ b (mod m) 当且仅当 a*n ≡ b*n (mod n) 当n != 0时。
D、如果 r⊥s, 则a ≡ b (mod r*s) 当且仅当 a ≡ b (mod r).
E、费马定理：如果 p 是素数，则对于所有整数 a, a^p ≡ a (mod m).
（暂时没有编程实现）

求解对数

（此部分理解的并不是很好）

1）计算Log1(b,X,k)(以b为底，变量取x时的，精确到小数点后k位的值)并用二进制表示
Log1(b,X,k)=n+b1/2+b2/4+b3/8+...+bk/(2^k);

L1:[ Initialize. ] n <- X/b;
L2:[ Text for end. ] If k = 0, end.
L3:[ Shift the decimal point of X. ] bk <- 0, Xk = Xk-1*Xk-1, if  Xk-1*Xk-1<10; 
                                                      bk<-1, Xk = (Xk-1*Xk-1)/10, if Xk-1*Xk-1 >= 10.
                                                      k--, goto L2.||
但是由于计算限制，会产生精度误差。

string Log1(double b,double x,int k)
{
string ans;
int n=(int)x/b;
ans.append(1,(char)x/b+'0');
ans+=".";
x=x-n;
while(k--)
{
x*=x;
if(x<10)
{
ans.append(1,'0');
}
else
{
ans.append(1,'1');
x/=10;
}
}
return ans;
}

2）We have a binary computer and a number x, 1 <= x <2, and need an auxiliary table of the constants logb2, logb(4/3), logb(8/7), etc, to many values errors,  as number of the computer.

L1:[ Initialize. ] Set y <- 0, z<- x shift right 1, k <- 1;
L2:[ Text for end. ] If x= 1, stop.
L3:[ Compare. ] If x - z < 1,set z <- z shift right 1, k<-k+1, and repeat this step.

L4:[ Reduce values. ] Set x <- x - z, z <- x shifted right k, y <- y+logb(2^k/(2^k-1)), and go to L2.||
(这段描述并不是很理解，代码实现可能要延迟)


由于本人数学功力不深，若有误解，希望指出；若有更好的代码实现方式，欢迎交流。