四轴飞行器建模和控制（二）

上一章普及了一些基本的物理知识，下面我们开始具体分析四轴的建模和控制的具体问题

首先明确两个坐标系，世界坐标系和机体坐标系。世界坐标系是固定在地面或者特定位置不懂的，又称参考系或者惯性系。机体坐标系是随机体实时运转的，固连在飞机上的坐标系。惯性系我们用[a1,a2,a3][a_1,a_2,a_3]来表示，体坐标系用[b1,b2,b3][b_1,b_2,b_3]来表示。

欧拉角是相对世界坐标系来说的，是参考世界坐标系，通过raw,pitch,roll的旋转转动到当前的体坐标系位置。当然我们可以有很多种方式从世界坐标系转换到体坐标系，欧拉角只是其中一种简单有效的方式。然而，欧拉角的旋转顺序又有很多约定，下面我们的讨论都是基于Z-X-Y旋序的欧拉角转换方式（具体关于欧拉角的讨论贴在四轴建模（一）里面）。

定义在惯性系下的物体的位置向量为r=(x,y,z)Tr=(x,y,z)^T,速度向量为r˙=(x˙,y˙,z˙)T\dot{r}=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})^T,加速度等以此类推。坐标系转换的欧拉角为θ=(ϕ,θ,ψ)\theta=(\phi,\theta,\psi). 体坐标系下的角速度向量为w=[p,q,r]w=[p,q,r],在体坐标系下可以表达为：wB=pd1+qd2+rd3w_B=p \bf{ d_1 }+q \bf{d_2}+r \bf{d_3}.注意这里的w和θw和
\theta不是一回事，前者是体坐标系下，角速度在坐标系下各轴的分量。后者单纯就是欧拉角的微分形式。也即：θ˙=[ϕ˙,θ˙,ψ˙]\dot{\theta}=[\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi} ]。他们之间可以通过转换公式进行转换进行转换。？？？？

牛顿运动方程：\textbf{牛顿运动方程：}

牛顿运动方程刻画了刚体整体在空间中的平动情况。四轴系统中四轴受到重力，方向沿着惯性系下的−a3-a_3方向，此外还受到四个马达整体的推力，方向沿着机体坐标系b3b_3方向。系统整体运动方程为：

mr¨=⎡⎣⎢00mg⎤⎦⎥+ARB⎡⎣⎢00F1+F2+F3+F4⎤⎦⎥m\ddot{r}=
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
mg
\end{array}
\right]
+^AR_B
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
F_1+F_2+F_3+F_4
\end{array}
\right]

其中FiF_i为表示在体坐标系下的各个马达的推力。ARB^AR_B为从体坐标系到世界坐标系下的转换矩阵。

欧拉转动方程\textbf{欧拉转动方程}

牛顿统治了平动的世界，欧拉则统治了刚体转动的世界。直接对四轴套用欧拉方程可以得到：

⎡⎣⎢L(F2−F4)L(F3−F1)M1−M2+M3−M4⎤⎦⎥=I⎡⎣⎢p˙q˙r˙⎤⎦⎥+⎡⎣⎢pqr⎤⎦⎥×I⎡⎣⎢pqr⎤⎦⎥
\left[
\begin{array}{c}
L(F_2-F_4)\\
L(F_3-F_1)\\
M_1-M_2+M_3-M_4
\end{array}
\right]
=I
\left[
\begin{array}{c}
\dot{p}\\
\dot{q}\\
\dot{r}
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r
\end{array}
\right]
\times I
\left[
\begin{array}{c}
p \\
q \\
r
\end{array}
\right]

这里L代表四轴每个臂的长度，FLFL即为转矩，注意第三行中的MiM_i为电机转动产生的转矩，电机希望扭动桨叶，桨叶自然对电机有个反向的扭力，这个扭力就是M