用动态规划解决最长公共子序列

要求：最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则
S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的

运用动态规划解决，不懂的可以参考任意一本算法书，一般都会介绍动态规划算法，以下部分解析选自算法书上。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质。

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

基于书上的讲解，解题思路如下：

引进一个二维数组L[][]，用L[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，state[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

归纳成数学表达式如下：



基于以上思路，代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int const MAX=12;

int commonOrder(char *x,int xLen,char *y,int yLen,int state[][MAX],int L[][MAX], char result[])
{
int i,j,k;
for(j=0;j<yLen;j++)
{
L[0][j]=0;
}
for(i=0;i<xLen;i++)
{
L[i][0]=0;
}
for(i=1;i<=xLen;i++)
for(j=1;j<=yLen;j++)
{
if(x[i]==y[j])
{
L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;
state[i][j]=1;
}
else if(L[i][j-1]>=L[i-1][j])
{
L[i][j]=L[i][j-1];
state[i][j]=2;
}
else
{
L[i][j]=L[i-1][j];
state[i][j]=3;
}
}
i=xLen;j=yLen;k=L[xLen][yLen];
cout<<"最长公共子序列为:";
while(i>=0&&j>0)
{
if(state[i][j]==1)
{
result[k]=x[i];
k--;
i--;
j--;
}else if(state[i][j]==2)
{
j--;

}else
{
i--;
}
}
result[k]=x[i];//注意此处必须将最后的x[i]的值赋给result[k]，因为在前面的while循环最终跳出的时候最后一个x[i]的值没赋给result[k]

for(k=0;k<L[xLen][yLen];k++)
{
cout<<result[k];
}
cout<<endl;
return L[xLen][yLen];
}
int main()
{
char  x[]="ABCBDAC";
char  y[]="ABCACD";
int xLen=strlen(x);
int yLen=strlen(x);
int L[MAX][MAX]={0,};
int state[MAX][MAX]={0,};
char result[MAX]="";
cout<<"最长公共子序列的长度为："<<commonOrder(x,xLen,y,yLen,state,L,result)<<endl;
return 1;
}

程序运行结果如下：