计算时间和空间复杂度

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

O(1)

Temp=i; i=j; j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交换i和j的内容

sum=0； （一次）

for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）

for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）

sum++； （n^2次 ）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.

for (i=1;i<n;i++)

{

y=y+1; ①

for (j=0;j<=(2*n);j++)

x++; ②

}

解： 语句1的频度是n-1

语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1

f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.

a=0;

b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

{

s=a+b;　　　　③

b=a;　　　　　④

a=s;　　　　　⑤

}

解： 语句1的频度：2,

语句2的频度： n,

语句3的频度： n-1,

语句4的频度：n-1,

语句5的频度：n-1,

T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n )

2.4.

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解： 语句1的频度是1,

设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,

T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.

for(i=0;i<n;i++)

{

for(j=0;j<i;j++)

{

for(k=0;k<j;k++)

x=x+2;

}

}

解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

下面是一些常用的记法：

访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，
通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

关于算法的时间复杂度的一些认识

　　算法的时间复杂度分析主要是分析算法的运算时间，即算法执行所需要的基本操作数。

　　算法时间复杂度的求解步骤：

1、找出算法中的基本语句

　　算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是for循环语句。

2、计算基本语句的执行次数T(n)

　　算出上面每一个for循环语句的执行次数

　　并列for循环，各个循环的执行次数相加得T(n)

　　嵌套for循环，各个循环的执行次数相乘得T(n)

3、计算T(n)的数量级

　求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

　 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

4、用O表示时间复杂度即可

看一个例子就明白了：

　(1) int num1, num2;

　(2) for(int i=0;i<n; i++){

　(3) num1 += 1;

　(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){

　(5) num2 += num1;

　(6) }

　(7) }

　分析：

　1、分析语句，很清楚的看到有两个for循环，并且是嵌套的

　　语句(1)可以跳过；

　　语句(2)，for循环语句；

　　语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；

　　语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；

　　T(n) = 2 + 4n +3n*log2n

　2.计算每个循环的执行次数

　　外循环，i<n; i++;num1+=1;执行次数为n；

　　内循环，j<=n; j*=2;num2+=num1;执行次数为n*log2n；

　　T(n) = n+n*log2n

　　这里执行次数最多的语句是num2+=num1

　3.忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数

　　该算法时间复杂度为O(n*log2n)

　以上也只是一个简单的计算时间复杂度的方法，对于一些求算法时间复杂度的题感觉够用了。