哥尼斯堡的“七桥问题“---欧拉回路---欧拉图
2016-03-10 14:05
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哥尼斯堡的“七桥问题“哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市,它包含两个岛屿及连接它们的七座桥,如下图所示。可否走过这样的七座桥,而且每桥只走过一次?瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)最终解决了这个问题,并由此创立了拓扑学。这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面,可画过图中每条边仅一次,且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图,问是否存在欧拉回路?
输入格式:
输入第一行给出两个正整数,分别是节点数NNN (1≤N≤10001\leN\le 10001≤N≤1000)和边数MMM;随后的MMM行对应MMM条边,每行给出一对正整数,分别是该条边直接连通的两个节点的编号(节点从1到NNN编号)。输出格式:
若欧拉回路存在则输出1,否则输出0。输入样例1:
6 10 1 2 2 3 3 1 4 5 5 6 6 4 1 4 1 6 3 4 3 6
输出样例1:
1
输入样例2:
5 8 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 5 3 5 4 3 4
输出样例2:
0
七桥问题主要就是判断欧拉图,如果是欧拉图,一定可以找出办法通过所有的桥且仅一次。可惜,格尼斯堡的七桥问题无解,因为它不是欧拉图。
定义: (参见离散数学课本)
欧拉通路:通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路
欧拉回路:通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路[/code]
欧拉图:具有欧拉回路的图
半欧拉图:具有欧拉通路而无欧拉回路的图 //规定平凡图是欧拉图
判断欧拉图:
定理: 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图且没有奇度顶点
有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度等于出度
判断半欧拉图:
定理:无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度顶点
有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的且恰有两个奇度顶点,其中一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点出度比入度大1,而其余顶点的出度等于入度
对于本题,根据定理,只需判断给定的图的连通度是否是1,可以用并查集判断
然后需要判断是否有奇度顶点,可以用邻接表表示,然后数出个数即可。
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <vector>#include <list>using namespace std;int n,m,flag = 0;int f[1001];vector<int> v[1001];void init(){for(int i = 1; i <= n; ++i){f[i] = i;}}int getf(int a){if(f[a] == a) return a;return f[a] = getf(f[a]);}int merge(int a,int b){int ta = getf(a);int tb = getf(b);if(ta == tb) return 0;else f[ta] = tb;return 1;}int main(int argc, char *argv[]) {scanf("%d%d",&n,&m);memset(f,0,sizeof(f));memset(count,0,sizeof(count));init();while(m--){int k = 0,x,y;scanf("%d%d",&x,&y);v[x].push_back(y);v[y].push_back(x);merge(x,y);k++;}for(int i = 1; i <= n; ++i){if((v[i].size())&1 == 1) flag = 1;for(int j = 2; j <= n; ++j){if(merge(i,j)) flag = 1;}}if(flag) printf("0\n");else printf("1\n");return 0;}[/code]
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