一个例子看懂递归

一、为什么要搞定递归

在计算机科学与技术中，递归思想是简单而且复杂的。它可以将复杂的数学问题用简单的代码实现，但是要理解它却是需要复杂的思考。大多数算法中都巧妙的使用了，或者可以使用递归来完成，比如排序算法中的快速排序、堆排序、归并排序等，数据结构中树的遍历、平衡树的判断、二叉查找树的建立与维护以及图的遍历与最短路径求解等，动态规划、贪心算法等等，实在事太多太多，就不一一列举了。所以掌握好递归对于学习好算法与数据结构的重要性不言而喻。

二、初见递归

要想学好递归就得先了解函数调用在内存中的实现方式：函数调用是通过栈的方式实现的。递归简单来说就是在函数内部调用其本身，借用栈的特性，在一定的递归终止条件下，达到正向循环和反向循环的目的。这里有几个重点：1）函数调用与运行的顺序，2）递归终止条件。前者关系到我们在函数内部对数据进行操作的位置，后者关系到我们递归循环达到的范围。所以在书写递归函数之前，务必要将其弄清楚。

三、例子

例子：实现一个函数检查二叉树是否平衡。平衡树定义：任意一个节点，其两棵子树的高度差不超过1。

递归解法：如上所说，我们要解决的其实是找到每个节点左右子树最大高度，并进行比较。所以要利用递归解决问题，要先搞清楚递归的两个重点：1）函数调用于运行的顺序，2）递归终止条件。

对于前者，是由我们的目的决定的：我们想要得到每个节点对应的左右子树的高度。这种一般是在递归调用之后执行操作（包括树的高度计算，或者返回结果），可以对应到树的后序遍历。

对于后者，是由我们的数据结构特性决定的：树的叶子节点的左右左右孩子节点为空。其实到这里，利用递归算法解这个题的思路就已经形成了。

首先，在递归调用前，作出判断，如果当前节点是空，则返回0,表示当前节点为叶子节点，其对应子树高度为0。其次，分别将当前节点的左右孩子作为参数进行递归调用。最后，在递归调用后，比较前两个递归调用的返回值大小，并得到较大的，其即为当前节点的最大左右子树高度。并将最大高度加1并返回。完毕！

就是这么简单。其实完全文字叙述可能有点难以理解，不过如果有一定的基础，还是比较通俗易懂的。如果有时间，我以后会加上图解。

代码如下：

int getHeight(TreeNode *root){
if(root == null)
return 0;

int left = getHeight(root->left);
int right = getHeight(root->right);

int height = Math.max(left, right);

return height + 1;
}

最后这是对于一个节点的左右子树高度的判断，我们还需要对整棵树的每个节点进行判断。所以我们还需要如下代码：

bool checkBalanced(TreeNode *root){
if(root == null)
return true;
if(Math.abs(getHeight(root->left) - getHeight(root->right)) > 1)
return false;
return checkBalanced(root->left) && checkBalanced(root->right);
}

以上算法的时间复杂度是O(NlogN)。对该算法进行很小的修改即可达到线性时间O(N)的效果。大家可以自行思考。

四、再看递归

经过以上分析（其实这部分是要结合我设计的图来说明的，最近比较忙，图估计要晚些时候是上了，那就先完成这个部分吧。），我们可以看到，递归的一个比较重要的特性，栈的运行顺序。所以我们会在书写递归程序时有类似下面的总结：

1）首先弄清楚我们要对数据处理的顺序（对应于前面说的递归的第一个重点）；

2）其次弄清楚数据结构的特性，或者说递归的终止条件（对应于前面说的递归的第二个重点）；

3）在检查代码时，将每次递归过程想象成一个完全相同的（装了同样的代码，仅仅是传入的参数可能不同）矩形框，矩形框中的一行对应于函数中的一行执行代码。从每个递归调用出会衍生出新的矩形框；

4）在第一次达到递归终止条件时，代表该矩形框可以被抛弃（函数调用运行结束），并返回调用他的矩形框中，在调用处的下一行继续运行，直到返回。后续运行，依次类推。