bzoj4013: [HNOI2015]实验比较
2016-03-06 10:19
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bzoj4013题目描述
Description
小D 被邀请到实验室,做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片,编号为 1 到 N。实验分若干轮进行,在每轮实验中,小 D会被要求观看某两张随机选取的图片, 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏,或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和 y(x、y为图片编号)之间的比较:如果上下文中 x 和 y 是图片编号,则 x < y 表示图片 x“质量优于”y,x>y 表示图片 x“质量差于”y,x=y表示图片 x和 y“质量相同”;也就是说,这种上下文中,“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思;在其他上下文中,这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则(在 x和y是图片编号的上下文中):(1)x < y等价于 y > x。(2)若 x < y 且y = z,则x < z。(3)若x < y且 x = z,则 z < y。(4)x=y等价于 y=x。(5)若x=y且 y=z,则x=z。 实验中,小 D 需要对一些图片对(x, y),给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后, 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下,定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串,也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1},其中 xi为图片编号,x1,x2,…,xN两两互不相同(即不存在重复编号),Ri为<或=,“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如: 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1,3 = 2”冲突(因为质量序列中 3<1 且1=2,从而3<2,这与主观判断中的 3=2 冲突;同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突) ,但与主观判断“2 = 1,3 < 2” 不冲突;因此给定主观判断“3>1,3=2”时,1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列,3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了,小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i,小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条(0 <= M <= N),其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi),判断要么是KXi < Xi ,要么是KXi = Xi,而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在,基于这些主观数据,我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定:如果质量序列中出现“x = y”,那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此: 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列, 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列,而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列,1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多, 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果Input
第一行两个正整数N,M,分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数;接下来M行,每行一条判断,每条判断形如”x < y”或者”x = y”。
Output
输出仅一行,包含一个正整数,表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。Sample Input
5 41 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5
Sample Output
5HINT
不同的合法序列共5个,如下所示:1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的数据满足N<=100。
题解
对于等于关系,我们用并查集维护一下。若i优于j则由i在并查集中的祖先向j在并查集中的祖先连一条有向边。题目保证小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki,也就是说每个点的入边只有1条。这样就是个森林。加入一个虚点就可以做树DP了。记f[i][j] 表示以i为根的子树中合法序列长度为j时的方案数(这里我们将等于关系的元素都看成一个点,也就是说j<=i的子树大小)。假设i有两个儿子u和v。我们考虑将u中长度为j的序列和v中长度为k的序列合并成长度为p的序列。显然max(j,k)<=p<=j+k。那么相当于将k中p-j个元素插入j个元素中(一个位置可以插多个)有Cp−jp种方案,再将k中剩余的k-(p-j)个元素与j个元素合并(用=连接)方案数为Ck−(p−j)j。所以有f[i][p]=f[u][j]∗f[v][k]∗Ck−(p−j)j∗Cp−jp 若i有多个儿子,依次合并即可。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> #include<queue> #include<vector> using namespace std; #define N 110 #define P 1000000007 struct edge{int x,next;}e ; struct node{int x,y;}q ; int first ,fa ,du ,f ,g ,size ,c ,cnt,tot,n,m,x,y,ans; char s[10]; int get(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=get(fa[x]);} void add(int x,int y){ e[++tot].x=y; e[tot].next=first[x]; first[x]=tot; } void dfs(int x,int y){ size[x]=1; for(int i=first[x];i;i=e[i].next) if(e[i].x!=y){ dfs(e[i].x,x); if(size[x]==1) for(int j=1;j<=size[e[i].x];j++) g[j]=f[e[i].x][j]; else { for(int j=1;j<size[x];j++) for(int k=1;k<=size[e[i].x];k++) for(int p=max(j,k);p<=j+k;p++) g[p]=(g[p]+(long long)f[x][j]*f[e[i].x][k]%P*c[p][p-j]%P*c[j][k-p+j]%P)%P; } size[x]+=size[e[i].x]; for(int j=1;j<size[x];j++) f[x][j]=g[j],g[j]=0; } for(int i=size[x];i>1;i--) f[x][i]=f[x][i-1]; f[x][1]=(size[x]==1); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%s%d",&x,s,&y); if(s[0]=='=') fa[get(x)]=get(y); else { if(s[0]=='>') swap(x,y); q[++cnt].x=x; q[cnt].y=y; } } for(int i=1;i<=cnt;i++){ add(get(q[i].x),get(q[i].y)); du[get(q[i].y)]++; } for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P; for(int i=1;i<=n;i++) if(fa[i]==i&&du[i]==0) add(0,i); dfs(0,0); for(int i=2;i<=size[0];i++) ans=(ans+f[0][i])%P; printf("%d\n",ans); return 0; }
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