01背包问题 第一次DP

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。

动态规划（DP）：

1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

2） 根据第i件物品放或不放进行决策


(1-1)

其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；

而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。

设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i件物品价值为W[i]。
根据这个公式最初写出的代码如下

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))

using namespace std;

int dp[3405][12880];

int main()
{
int n, m, weight[3405], value[3405];
while(cin >> n >> m)
{
for(int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> weight[i] >> value[i];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if(j >= weight[i])
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp
[m] << endl;
}
}

因为开了个非常巨大的数组，内存超了。

之后优化空间复杂度。

因为开始判断第i个物体时，数组还未更新，实际上如果使用一维数组，里面存的数据实际上是i-1时的数据，所以以为数组即可满足需求。

但是由于如果从重量1开始循环，会导致前面的数组被更新，后面的数组用不到i-1的数据，所以循环需要从重量m开始循环，这样保证可以使用i-1时的数据。

下面是AC的代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))

using namespace std;

int dp[12885];

int main()
{
int n, m, weight[3405], value[3405];
while(cin >> n >> m)
{
for(int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> weight[i] >> value[i];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = m; j >= 1; j --)
{
if(j >= weight[i])
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[m] << endl;
}
}