迪杰斯特拉(dijkstra)算法详解

在图的应用中，有一个很重要的需求：我们需要知道从某一个点开始，到其他所有点的最短路径。

    这其中，Dijkstra算法是典型的最短路径算法。它的关键思想是以起始点为中心，向外一层层扩散，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能够得出最短路径的最优解，不过它需要遍历计算的节点相当多，所以效率不高。

 

    首先，用最通俗的语言解释。假定有3个顶点，A、B、C，如图：





    要求A到其余各点的最短路径。很明显，A到C比A到B更短。有疑惑的是从A->B的最短距离，要么是直接A->B的边，要么是A经过C到B的边更短。我们首先找到最短的边（A->C),然后在此基础上扩展，于其余边去对比找到最小值。顶点再进一步扩充增加，按照这个思想，我们总可以找到A到所有点的最短路径。

 

 

算法描述：

    从节点1开始到其余各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示边a->b的权，d(i)即为最短路径值，顶点集合为V={1,2,3...n}

    1.置集合S={1}，置顶点集合U={2,3,4...n}，数组d(1)=0,d(i)=W1->i（1，i之间存在边）or 无穷大（1，i之间不存在边）；

 

    2.在U中，令d(j)=min{d(i),i属于U}，将j从U中移至S中，若U为空集则算法结束，否则转3；

 

    3.对全部i属于U，如果存在边j->i,那么置d(i)=min{d(i),
d(j) + Wj->i},转2

 

    Dijkstra算法的思想为;设G=(V,
E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分为两部分，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有源点，以后每求出一条最短路径，就将顶点加入到S中，直到所有顶点都加入到S中，算法结束），第二组为其余未求出最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径的长度次序依次将第二组中的顶点加入到第一组中。

 

     在加入过程中，总保持着从源点v到S中各顶点的最短路径不大于从源点v到U中各顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离即为源点v到该点的最短路径长度。U中顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短距离。

 

 

算法具体步骤

    1.初始时，S中只有源点，即S
= {v}，v的距离为0（到自己的距离为0）。U包含除v外地所有其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v到u存在边）或
∞ （v到u不存在边，即u不是v的出边邻接点）

 

    2.从U中选取一个距离v最小的顶点k加入到S中（选定的距离就是v到k的最短路径）

 

    3.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离。若从源点v经过顶点k到顶点u的距离比原来距离（不经过顶点k）段，则修改顶点u的距离，修改后的距离值为顶点k的距离加上边k->u的权

 

    4.重复步骤2、3直到所有的顶点都加入到S中

 

 

复杂度分析：

    实现方式的不同，可能有n次或者n-1次外层的循环，这里取n次。

    步骤2每一轮的比较步骤会是n，n-1，n-2...1

    步骤3每一轮的更新步骤会是n-1，n-2...1

    这样计算出结果大致为 n²

    Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)

    空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)

 

再看一个例子：

 



 

步骤	S集合中	U集合中
1	选入A，此时S ={A} 此时最短路径A->A = 0 以A为中间点，从A开始找	U = {B, C, D, E, F} A->B = 6 A->C = 3 A->U中其他顶点 = ∞ 其中A->C = 3 权值为最小，路径最短
2	选入上一轮中找到的最短路径的顶点C，此时S = {A, C} 此时最短路径A->A = 0，A->C = 3 以C为中间点，从A->C=3这条最短路径开始新一轮查找	U = {B, D, E, F} A->C->B = 5(比上面的A->B = 6要小) 替换B的权值为更小的A->C->B = 5 A->C->D = 6 A->C->E = 7 A->C->U中其他顶点 = ∞ 其中A->C->B = 5 最短
3	选入B,此时S = {A, C, B} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3 A->C->B = 5 以B为中间点，从A->C->B = 5这条最短路径开始新一轮查找	U = {D, E, F} A->C->B->D = 10(比上面的A->C->D = 6大，不替换，保持D的权值为A->C->D=6) A->C->B->U中其他顶点 = ∞ 其中 A->C->D = 6 最短
4	选入D,此时 S = {A, C, B, D} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6 以D为中间点，从A->C->D = 6这条最短路径开始新一轮查找	U = {E, F} A->C->D->E = 8(比上面步骤2中的A->C->E = 7要长，保持E的权值为A->C->E =7) A->C->D->F = 9 其中A->C->E = 7最短
5	选入E,此时 S = {A, C, B, D ,E} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7, 以E为中间点，从A->C->E = 7这条最短路径开始新一轮查找	U = {F} A->C->E->F = 12(比第4步中的A->C->D->F = 9要长，保持F的权值为A->C->D->F = 9) 其中A->C->D->F =9最短
6	选入F,此时 S = {A, C, B, D ,E, F} 此时最短路径 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7,A->C->D->F = 9	U集合已空，查找完毕

 

算法实现：

伪代码

     Dijkstra算法解决了有向图G=(V,
E)上带全的单源最短路径问题，但要求所有的边权非负）。因此，假定每条边(u，v)∈E，有w(u，v)≥0。

 

     Dijksra算法中设置了一个顶点集合S,从源点s到集合中的顶点的最终最短路径的权值均已确定。算法反复选择具有最短路径估计的顶点u∈V-S，并将u加入到S中，对u的所有出边进行松弛。在下面的算法实现中，用到了顶点的最小优先队列Q，排序关键字为顶点的d值。

 

DIJSTRA(G，w，s)

　　1　INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G，s)

　　2　S ← Φ

　　3　Q ← V[G]

　　4　while Q≠Φ

　　5　do u EXTRACT-MIN(Q)

　　6　S ← S∪{u}

　　7　for each
vertex v∈Adj[u]

　　8　do RELAX(u，v，w)

C++代码实现

    这是前面代码中复制过来的，仍然是用模板跟容器实现的，可以做些修改使用数组或其他数据结构及实现方式。

 

template<typename vertexNameType, typename weight>

int OLGraph<vertexNameType, weight>::Dijkstra(IN const vertexNameType vertexName1)

{

int sourceIndex = getVertexIndex(vertexName1); //获取源点在容器中索引值

if (-1 == sourceIndex)

{

cerr << "There is no vertex " << endl;

return false;

}

int nVertexNo = getVertexNumber(); //获取顶点数

vector<bool> vecIncludeArray; //顶点是否已求出最短路径

vecIncludeArray.assign(nVertexNo, false); //初始化容器

vecIncludeArray[sourceIndex] = true;

vector<weight> vecDistanceArray; //路径值容器

vecDistanceArray.assign(nVertexNo, weight(INT_MAX)); //将所有顶点到源点的初始路径值为正无穷

vecDistanceArray[sourceIndex] = weight(0); //源点到自己距离置0

vector<int> vecPrevVertex; //路径中，入边弧尾顶点编号（即指向自己那个顶点的编号）

vecPrevVertex.assign(nVertexNo, sourceIndex); //指向所有顶点的弧尾都初始为源点，源点指向所有顶点

getVertexEdgeWeight(sourceIndex, vecDistanceArray); //得到源点到其余每个顶点的距离

int vFrom, vTo;

while(1)

{

weight minWeight = weight(INT_MAX);

vFrom = sourceIndex;

vTo = -1;

for (int i = 0; i < nVertexNo; i++) //找出还没求出最短距离的顶点中，距离最小的一个

{

if (!vecIncludeArray[i] && minWeight > vecDistanceArray[i])

{

minWeight = vecDistanceArray[i];

vFrom = i;

}

}

if (weight(INT_MAX) == minWeight) //若所有顶点都已求出最短路径，跳出循环

{

break;

}

vecIncludeArray[vFrom] = true; //将找出的顶点加入到已求出最短路径的顶点集合中

//更新当前最短路径，只需要更新vFrom顶点的邻接表即可，因为所有vFrom指向的边都在邻接表中

Edge<weight> *p = m_vertexArray[vFrom].firstout;

while (NULL != p)

{

weight wFT = p->edgeWeight;

vTo = p->headvex;

if (!vecIncludeArray[vTo] && vecDistanceArray[vTo] > wFT + vecDistanceArray[vFrom]) //当前顶点还未求出最短路径，并且经由新中间点得路径更短

{

vecDistanceArray[vTo] = wFT + vecDistanceArray[vFrom];

vecPrevVertex[vTo] = vFrom;

}

p = p->tlink;

}

}

for (int i = 0; i < nVertexNo; i++) //输出最短路径

{

if (weight(INT_MAX) != vecDistanceArray[i])

{

cout << getData(sourceIndex) << "->" << getData(i) << ": ";

DijkstraPrint(i, sourceIndex, vecPrevVertex);

cout << " " << vecDistanceArray[i];

cout << endl;

}

}

return 0;

}

template<typename vertexNameType, typename weight>

void OLGraph<vertexNameType, weight>::DijkstraPrint(IN int index, IN int sourceIndex, IN vector<int> vecPreVertex)

{

if (sourceIndex != index)

{

DijkstraPrint(vecPreVertex[index], sourceIndex, vecPreVertex);

}

cout << getData(index) << " ";

}