Java数据结构----树

一、树

树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算，并研究一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实例。



关于树的一些术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图A结点的度为3，B结点的度为2，c结点的度为1，D结点的度为3。

叶节点或终端节点：度为零的节点称为叶节点；E、F、G、H、I 以及J度都为0

非终端节点或分支节点：度不为零的节点；

双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

树的高度或深度：定义一棵树的根结点层次为1，其他节点的层次是其父结点层次加1。一棵树中所有结点的层次的最大值称为这棵树的深度。节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

树的度是指每个节点孩子的最大数量，上图是3（D点最大是3），而树深度是指树有几层，上图是3

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；



层次遍历为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

二、二叉树

2.1、二叉树的相关概念

二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

2.2、二叉树的性质：

(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)。

(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点。

(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1。

(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int[（log2n）]+1。

(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则 如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。

(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。

(7）设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i

2.3、二叉树的建立

广义表(Lists，又称列表)是一种非线性的数据结构，是线性表的一种推广。即广义表中放松对表元素的原子限制，容许它们具有其自身结构。它被广泛的应用于人工智能等领域的表处理语言LISP语言中。在LISP语言中，广义表是一种最基本的数据结构，就连LISP 语言的程序也表示为一系列的广义表。（关于广义表的概念，请查看百科的介绍：http://baike.baidu.com/view/203611.htm）

首先，我们采用广义表建立二叉树。我们建立一个字符串类型的广义表作为输入：

String expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))";与该广义表对应的二叉树为：

写代码前，我们通过观察二叉树和广义表，先得出一些结论：

每当遇到字母，将要创建节点

每当遇到“（”，表面要创建左孩子节点

每当遇到“，”，表明要创建又孩子节点

每当遇到“）”，表明要返回上一层节点

广义表中“（”的数量正好是二叉树的层数



根据这些结论，我们基本就可以开始写代码了

二叉树的结点类：

public class Node {
Object data;
Node leftChild;
Node rightChild;

public Node() {
}

public Node(Object data) {
leftChild = null;
rightChild = null;
this.data = data;
}

public Node(Object data, Node leftChild, Node rightChild) {
this.data = data;
this.leftChild = leftChild;
this.rightChild = rightChild;
}
}

根据广义表创建二叉树的代码如下：

//String  expression = "A(B(D(,G)),C(E,F))"
public Node createTree(String exp) {
//这里长度定为3是因为建立二叉树后，树的层次是3大小
Node[] nodes = new Node[3];

//node为要将表达式里字母转成节点
Node root = null, node = null;
int top = -1, k = 0, j = 0;

char[] exps = exp.toCharArray();
char data = exps[j];

while (j < exps.length - 1) {
switch (data) {
case '(':
top++;
nodes[top] = node;
k = 1;
break;
case ')':
top--;
break;
case ',':
k = 2;
break;
default:
node = new Node(data, null, null);
if (root == null) {
root = node;
} else {
switch (k) {
case 1:
nodes[top].leftChild = node;
break;
case 2:
nodes[top].rightChild = node;
break;
}
}
}
j++;
data = exps[j];
}
return root;
}

创建完全二叉树：

/**
* 顺序方式存储，创建完全二叉树
* <p/>
* 算法思想：（根节点的下标是0）
* 1、父节点与总节点的数字关系：父节点数 = 总节点/2 ;
* 2、父节点与孩子节点的数字关系：左孩子 = parentIndex * 2 + 1
* 右孩子 = parentIndex * 2 + 2
* 3、对最后一个父节点要单独考虑，因为完全二叉树所有的结点都连续集中在最左边！
* 如果总节点数是奇数，则有右孩子;如果是偶数，则无右孩子
*/
public List<Node> createCompleteBinaryTree(int[] array) {
List<Node> nodeList = new LinkedList<Node>();

// 将一个数组的值依次转换为Node节点
for (int data : array) {
nodeList.add(new Node(data));
}

// 对前lastParentIndex-1个父节点按照父节点与孩子节点的数字关系建立二叉树
for (int parentIndex = 0; parentIndex < array.length / 2 - 1; parentIndex++) {
// 左孩子
nodeList.get(parentIndex).leftChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 1);
// 右孩子
nodeList.get(parentIndex).rightChild = nodeList.get(parentIndex * 2 + 2);
}

// 最后一个父节点:因为最后一个父节点可能没有右孩子，所以单独拿出来处理
int lastParentIndex = array.length / 2 - 1;
// 左孩子
nodeList.get(lastParentIndex).leftChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 1);

// 右孩子,如果数组的长度为奇数才建立右孩子
if ((array.length & 1) == 1) { //要添加括号，运算符有先后
nodeList.get(lastParentIndex).rightChild = nodeList.get(lastParentIndex * 2 + 2);
}

return nodeList;
}

2.4、二叉树的递归遍历

先序遍历：1 2 4 5 3 6

非递归前序遍历 1 2 4 5 3 6

中序遍历：4 2 5 1 6 3

非递归中序遍历 4,2,5,1,6,3,

后序遍历：4 5 2 6 3 1

非递归后序遍历: 4 5 2 6 3 1

层次遍历：1,2,3,4,5,6,

/****************遍历递归实现********************/
/**
* 对指定二叉树执行先序遍历（根-左-右）
* 递归的二叉树的根节点在什么位置，便是什么遍历
*
* @param node 被遍历的二叉树根节点
*/
public void preOrderTraverse(Node node) {
if (node != null) {
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根
preOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树
preOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树
}
}

/**
* 对指定的二叉树执行中序遍历（左-根-右）
*/
public void inOrderTraverse(Node node) {
if (node != null) {
inOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根
inOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树
}
}

/**
* 对指定的二叉树执行后序遍历（左-右-根）
*/
public void postOrderTraverse(Node node) {
if (node != null) {
postOrderTraverse(node.leftChild); //递归遍历左子树
postOrderTraverse(node.rightChild); //递归遍历左右子树
System.out.print(node.data + " "); //递归遍历根
}
}

/****************遍历非递归实现********************/
/**
* 非递归实现前序遍历 :根左右
* <p/>
* 算法思想：利用一个栈，先序遍历即为根先遍历
* 这种实现类似于图的深度优先遍历（DFS）
* 维护一个栈，将根节点入栈，然后只要栈不为空，出栈并访问，接着依次将访问节点的右节点、左节点入栈。
* 这种方式应该是对先序遍历的一种特殊实现（看上去简单明了），但是不具备很好的扩展性，在中序和后序方式中不适用
* <p/>
* 有类似树的结构的遍历的递归转非递归都是由栈来实现，如查找文件夹里的所有文件
*/
public void iterativePreOrder(Node root) {
System.out.print("\n非递归前序遍历 ");
Stack<Node> stack = new Stack<Node>();
if (root != null) {
stack.push(root);   //入栈

while (!stack.empty()) {
root = stack.pop();  //出栈
System.out.print(root.data + " ");

if (root.rightChild != null)
stack.push(root.rightChild);

if (root.leftChild != null)
stack.push(root.leftChild);
}
}

}

/**
* 非递归中序遍历(左根右)
*
* 算法思想和上面的iterativePreOrder相同，
* 只是访问的时间是在左子树都处理完直到null的时候出栈并访问。
*/
public void iterativeInOrder(Node root) {
System.out.print("\n非递归中序遍历 ");
if (root == null)
return;
Stack<Node> stack = new Stack<Node>();

while (root != null || !stack.isEmpty()) {
while (root != null) {
stack.push(root);//先访问再入栈
root = root.leftChild;
}
root = stack.pop(); //出栈
System.out.print(root.data + ",");

root = root.rightChild;//如果左子树是null，出栈并处理右子树
}

}

/**
* 非递归实现后序遍历
*/
public void iterativePostOrder(Node root) {
System.out.print("\n非递归后序遍历: ");
Node tempNode = root;
Stack<Node> stack = new Stack<Node>();

while (root != null) {
//左子树入栈
for (; root.leftChild != null; root = root.leftChild)
stack.push(root);

// 当前节点无右子或右子已经输出
while (root != null &&
(root.rightChild == null || root.rightChild == tempNode)) {
System.out.print(root.data + " ");

tempNode = root;  //记录上一个已输出节点
if (stack.empty())
return;

root = stack.pop();  //出栈
}

//处理右子
stack.push(root);

assert root != null;
root = root.rightChild;
}

}

/**
* 层序遍历（有点类型先序遍历的非递归）
* <p/>
* 算法思想：用队列实现，先将根节点入队列，只要队列不为空，
* 然后出队列，并访问，接着讲访问节点的左右子树依次入队列
*
* @param root 被遍历的二叉树的根节点
*/
public void levelTravel(Node root) {
if (root == null)
return;

Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();
queue.add(root);

while (!queue.isEmpty()) {
Node temp = queue.poll();  //出列
System.out.print(temp.data + ",");

if (temp.leftChild != null)
queue.add(temp.leftChild);

if (temp.rightChild != null)
queue.add(temp.rightChild);
}
}

2.5、树跟二叉树的转换