利用归并排序法计算一个序列里有多少逆序对数（详细讲解）

前言

　　今天遇到求逆序对的问题，经过一番思索之后，特意来总结一下。因为也学习到了很多方法，以前自己一些百思不得其解的问题也有了解答。

正文

先上一个简单的问题：



　　分析：题目中说使用插入排序，也就是在排序过程中计算交换的次数，按照插入排序的原理，先定第一个，再定前两个的顺序，以此类推，只要交换了，我的次数就加一，但实际上，我们一直按照原始序列的顺序一直在往后走，所以（好，重点来了）我们要插入的就是前面比我大的数字前面的位置，也就是说，我需要交换的次数就是前面比我大的数字的个数，那么我考虑那就没必要进行交换了，直接进行和前面的数字进行比较就可以了啊，只要前面有比你现在所比较的数大，则加一。其实这很像我们线代学过的逆序数，就是求逆序数的个数。

　　接下来就是写代码：

#include<stdio.h>
int main() {
int n,m;

scanf("%d\n",&n);

int count = 0;
for(int i=0; i < n; i++) {
scanf("%d\n",&m);
int ch[m];
for(int j=0; j < m; j++) {
scanf("%d",&ch[j]);
}

for(int k=1; k < m; k++) {
for(int l=0; l < k; l++) {
if(ch[k] < ch[l]) count++;
}
}
}
printf("%d\n",count);

return 0;
}

这里的代码就是普普通通的代码，通俗易懂。当然，两个循环那里可以进行算法的优化，有心的读者自己去尝试吧。或者说看接下来的内容也可以收获另一种求逆序数的方法。

　　好，接下来，我们讲述重点的问题，相信很多人都可以解决前面的问题，但接下来的问题就不是那么容易了，需要思考与一些代码技巧。



　　注意：Hint : 直接使用兩層迴圈來找答案的話會超過系統時間限制。

　　 所以就必须寻求算法复杂度低的算法，按照提示，说在归并的过程当中计算逆序数对，首先要熟悉归并排序的原理，再结合问题来看。于是我在纸上进行了演算，先不断地进行二分，然后就两个两个相比较，就是分为两组，每组一个数，如果后面这个比前面的大，那就是一个逆序数对，然后就加一，并且将小的数字放在前面，于是合并，就得到了包含两个数的有序的一组数。接下来就是比较每组两个数的比较，如果第二组的第一个数大于第一组的第一个数，就加二，因为它比前面这组所有数都小。然后归并。以此类推。原则就是：如果后面这组数的某个数比前面这组的第i个数小，则逆序对数加上（mid-i+1）。

　　虽然明白了原理，对于归并不熟悉的同学，我觉得还是比较难的，特别是其中的一些技巧。

　　不多说。先分析代码如何写，先写框架：

#include<stdio.h>

int count = 0;//逆序数对
void mergeSort(int lo,int hi) {

}

int main() {
int N;
scanf("%d",&N);

for(int i=0; i < N; i++) {
scanf("%d",&ch[i]);
}

mergeSort(0,N-1);//归并排序

printf("%d\n",count);
return 0;
}

这部分框架应该都能看懂。接下来讲述归并。首先原理就是先二分，分别排序，后归并。

void mergeSort(int lo,int hi) {
if(lo < hi) {

int mid =( lo + hi ) / 2;//另一种写法：int mid = ( lo + hi ）>> 1;(学过计算机组成的应该知道，最终代码都会转换成二进制，二进制数字向右移一位代表除以2）
//二分排序
mergeSort(lo,mid);
mergeSort(mid + 1,hi);
//归并
Merge(lo,mid,hi);
}
}

其实这差不多也是个框架，只不过注意一下 lo < hi 这个条件。

然后重点在于归并这部分，设置标记点，i = lo 和 j = mid+1 循环的条件应该是

int i = lo;
int j = mid + 1;
while(i <= mid&&j <= hi) {

}

如果后面前面这组数的第i个数大于后面某个数，count就加mid-i+1。当然归并时需要一个临时数组来存储这些改变位置的数，

int i = lo;
int j = mid + 1;
int x = lo;

while(i <= mid&&j <= hi) {
if ( ch[i] > ch[j]) {
count +=  mid - i + 1;
temp[x++] = ch[j++];
}
else {
temp[x++] = ch[i++];
}
}

当然，这还有个要注意的地方，如果前面这组数已经排完了，然后后面这组数还没完就已经退出了循环，那这个临时数组就没有归并所有的数进来，就不完整。此时就应该加上

while(i <= mid) temp[x++] = ch[i++];
while(j <= hi)  temp[x++] = ch[j++];

然后当然我们还要把这个临时数组的值又返回到原来的数组中，以便于这个数组在下一轮进行归并。

for(int k = lo; k <= hi ; k++)
ch[k]  = temp[k];

好，这样，我们就完成整个代码的编写

这是完整的源代码：

#include<stdio.h>

void Merge(int ,int ,int );
void mergeSort(int ,int );

int ch[20000],temp[20000];//最大有20000个数，注意这里要是全局变量，易于使用。
int count = 0;//逆序数，一定要是全局变量，这样就可以无论怎么递归都会一直加。原先的想法就是递归中返回逆序对的数，不断累加，实现起来比这个困难。这个直接就是全局变量，方便简洁。

void mergeSort(int lo,int hi) {//递归函数里不断二分排序，归并。
if(lo < hi) {

int mid =( lo + hi ) / 2;

mergeSort(lo,mid);
mergeSort(mid + 1,hi);

Merge(lo,mid,hi);
}
}

void Merge(int lo,int mid,int hi) {//进行归并
int i = lo;
int j = mid + 1;
int x = lo;

while(i <= mid&&j <= hi) {
if ( ch[i] > ch[j]) {
count+=  mid - i + 1;
temp[x++] = ch[j++];
} else {
temp[x++] = ch[i++];
}
}

while(i <= mid) temp[x++] = ch[i++];
while(j <= hi)    temp[x++] = ch[j++];

for(int k = lo; k <= hi ; k++)
ch[k]  = temp[k];

}
int main() {
int N;
scanf("%d",&N);

for(int i=0; i < N; i++) {
scanf("%d",&ch[i]);
}

mergeSort(0,N-1);

printf("%d\n",count);
return 0;
}

总结

　　这里带给我最大的收获就是count是全局变量，因此才可以在不断的递归中一直累加，我原先的想法就是在递归中看能不能返回逆序对的个数，或者在参数中间加入逆序对的个数一直传递。这次终于得到了解答，还有这个归并时他创建的临时数组也很巧妙，最终又赋值给原数组。最棒的就是递归这部分，以前老是理不清，想不清，看来以后得多用用递归。

　2016-02-25 12:37:30