[leetcode] Burst Balloons

题目描述：

Given

n

balloons, indexed from

0

to

n-1

.
Each balloon is painted with a number on it represented by array

nums

. You
are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon

i

you will
get

nums[left] * nums[i] * nums[right]

coins. Here

left

and

right

are
adjacent indices of

i

. After the burst, the

left

and

right

then
becomes adjacent.
Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.
Note:

(1) You may imagine

nums[-1] = nums
 = 1

. They are not real therefore you
can not burst them.

(2) 0 ≤

n

≤ 500, 0 ≤

nums[i]

≤
100
Example:
Given

[3, 1, 5, 8]

Return

167

nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
   coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

这题的分治思想并不是很直观，因为divide并不是可以一次性地将一个问题分成两个子问题。（我们应该跳出分治一定是分成两个子问题的这种思维定势），而且conquer的时候也不是常规意义的合并，而是取max。

不过直接采用递归的思想去思考，还是比较容易的。但写算法的话就可以用DP了，递归会超时。
dp(i, j) = max{dp(i, k) + dp(k, j) + nums[i]*nums[k}*nums[j]}, k = [i+1, j-1]
dp(i,j)表示数组arr[i,j]对应的该问题的最优解，其中arr[i]和arr[j]都是不能被burst的气球。
而上面的递归式右边max大括号里的表达式表示，最后一个burst的气球是第k个时，我们能够得到的最多的硬币的数目。

另外，这里填充dp的方式也不是常规的i从0到n-1，j也从0到n-1，而是按照j与i之间的间隔逐渐增大的对角线的方式进行填充。至于为什么要用这种方式填充，上面的递推式给出了答案。我们要求dp(i,j)时，一定要预先知道i和j之间的任意区间的dp值，而我们如果采用i从0到n-1，j也从0到n-1或者由大到小的迭代方式都没法满足这个条件，即如果i从小到大，j也从小到大，那么求dp(i,j)时，需要用到dp(i,k)和dp(k,j)，i<k<h，其中dp(i,k)会在它之前得到，但dp(k,j)就还没计算到，因为k>i。
而经过观察我们发现，dp(i,k)和dp(k,j)的下标区间长度一定比dp(i,j)要小，所以我们可以采用区间长度由小到大的方式进行填充dp数组。

问题想明白了的话，其实代码还是相对比较容易写的。

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        if(0 == nums.size()) return 0;
        nums.insert(nums.begin(), 1);
        nums.push_back(1);
        
        int n = nums.size();
        vector<int> col(n, 0);
        vector<vector<int>> dp(n, col);
        
        for(int len = 2; len < n; ++len)
        {
            for(int i = 0; i < n-len; ++i)
            {
                int ret = 0;
                for(int k = i+1; k < i+len; ++k)
                {
                    int tmp = dp[i][k] + dp[k][i+len] + nums[i]*nums[k]*nums[i+len];
                    if(tmp > ret) ret = tmp;
                }
                dp[i][i+len] = ret;
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};