概率dp && 高斯消元 专题训练

寒假真是极度荒废的，想补一补自己的概率方面的知识，感觉也没很好的补，只是把概率dp和高斯消元的一些东西搞懂了，难的也不会做。

什么期望的线性递推啊，概率公式，高深的基本都没学

lightoj 1027

这是以前碰到的老概率题了，当年压根不会，现在会了

有n个门让你选，每个门有一个数字，正数代表x分钟后出去，负数代表x分钟后回到起点重新开始

然后问你出去的时间期望是多少分钟

这题就是把正负时间统计一下，你每次选择出去的概率是pos/n,回去的概率是neg/n，然后你出去的平均时间是正数加起来的平均值，回去的时间是负数加起来的平均值，然后类似正常的求期望就好了，公式推导化简一下，得到最后的答案就行了

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157341/

lightoj 1030

这题应该是飞行棋，然后每个位置上有一个数字，6面骰子，问你从1走到n，走过的数的和的期望

概率dp求期望，一般要倒着dp，为什么呢，dp[i]表示从i走到n的期望，因为你从i走到i+1，i+2，。。。i+6，i有1/6的概率转移到比如i+1，然后得到dp[i+1]，所以dp[i]+=1/6(dp[i+1]+dp[i+2]+...+dp[i+6])。如果不满6格不一定是1/6

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157399/

lightoj 1038

给你一个数n，然后从他的因子中选择一个d，然后得到n/d，然后还是这样操作，问你得到1需要的次数的期望

dp[i]=1+(sigma(dp[i/j]))/g[i]； j是i的因子，g[i]是i的因子的个数

然后j可能等于1，所以需要化简这个公式，把dp[i]移到一侧，然后得到结果，用递归写就能解决

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157453/

lightoj 1079

这题是你去抢银行，然后被抓的概率小于p的话就是安全，然后告诉你每个银行的钱和被抓的概率，求不被抓的情况下拿到最多的钱

这个很明显就是个背包啊，但是状态很容易想错

首先是被抓的概率不能相乘，不然你被抓的概率是越来越小，也不能想加，应该是不被抓的概率相乘，其次我傻逼的把概率当作下标来做，然后一直跪，毕竟没告诉我精度是多少

其实应该dp[i]表示抢到i个钱的时候不被抓的最大概率，然后dp[i]=max(dp[i-j]*(1-p))；

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157500/

lightoj 1104

一年有n天，然后问你至少找多少个人，让其中有两个人在同一天生日的概率大于等于0.5；

其实要求所有人都不再同一天生日的概率小于等于0.5

其实就是A（n，x）/n^x <=0.5就行了

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157601/

lightoj 1151

这题是有100个位置，然后骰子可以掷出1-6，走1-6步，但是还有蛇和楼梯，所以这其实是一个有环的期望问题

e[i]=1+e[i+1]+e[i+2]+...+e[i+6];

如果i处有楼梯或者蛇，e[i]=e[go[i]];

构造好矩阵，直接套高斯消元的期望模版就行了

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lightoj 1248

这题是给你个n面的骰子，然后问你n面全部扔出来的次数的期望

dp[i]表示已经扔出来了i面的期望，他可以转移到dp[i]和dp[i+1]

dp[i]=i/n*dp[i]+(n-i)/n*dp[i+1]+1;

dp[i]=dp[i+1]+n/(n-i);

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157824/

lightoj 1265

给你一些老虎和鹿，然后还有你，两两碰到会发生一些事情，问你存活下来的概率

先找出你能存活的情况，然后dp一下

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15157958/

lightoj 1274

给你一个长度s的字符串，然后告诉你yes和no加起来有n个，然后可以换出来yes的个数和no的个数，然后yes可以看成1，no看成0，然后问你对于所有排列，把这个排列右移一位然后左边添上yes之后和原来的串不一样的个数的期望的平均

讲道理这题我没怎么懂题意，其实就是求排列里面相邻不同的个数把，然后问你有a个1，b个0的时候，能出现的相邻不同的个数的期望，如果第一位是0的话，还要加1

dp[i][j][flag]表示前面i个有j个1，并且第i位是flag，然后就这么瞎搞吧,然后你取到1或者0的概率算一下，然后搞一下

最后输出dp[0][0][1],因为最前面要放个1，所以如果第一位是0的话还要+1，然后数组开不下，所以要用滚动数组

感觉这题表达的也不清楚，反正记住期望要倒着算，以后碰到题目还是要随机应变啊

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15158239/

lightoj 1284

这题是给你个三维空间，起初都是off，然后你选两个点，两点之间的按钮都被打开（如果开着就关闭），然后问你k次操作后是on的个数的期望

这题其实要考虑每个位置被打开的概率（操作奇数次）

然后就是算这个一次操作里位置被选中的概率p，那么就是（1-x坐标没被选中的概率）*（1-y坐标没被选中的概率）*（1-z坐标没被选中的概率）

然后要算k次里被选中奇数次，记p
为n次里选中奇数次的概率，g
为n次里选中偶数次的概率

p
=1-g
;

g
=p[n-1]*p+(1-p)*g[n-1]=p[n-1]*p+(1-p)*(1-p[n-1])=1+2*p*p[n-1]-p[n-1]-p;

p
=(1-2p)*p[n-1]+p;

p
-1/2=(1-2p)*(p[n-1]-1/2);

p[0]=0;

求出p
，然后对每个位置ans+=p
；

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15158463/

poj 2151

给你几个队伍，然后每个队伍做对每题的概率，让你求每个队至少做出1题，并且至少一个队伍做出来n题的概率

先求出每个队伍都做不出题的概率，然后减一下，乘一下，得到至少1题的概率，dp求出每个队过不满n题的概率，然后乘起来每个队都过题但是不满n题的概率，然后上面个概率减去下面个就好了。

概率一定要想清楚，我开头没想清楚，就乘了然后wa

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15243169/

codeforces 148D

这题是说有黑的b个白的w个，然后两个人开始抓老鼠，谁抓到白的就赢，然后龙每次抓，剩下的都会随即逃走一只，然后如果没有老鼠了，算龙赢，问你公主赢的概率

这题要找出公主的状态转移，而不能一会考虑公主一会考虑龙

dp[i][j]是剩下i个白，j个黑的时候公主赢的概率，于是可以转移到dp[i][j]=i/(i+j)+.....

后面是公主抓黑的，龙不能抓白的，所以也是黑的，然后随即跑一个是黑的或者白的，就这两个转移

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15243211/

poj 3071

踢足球，然后给你每个队战胜其他队的概率，然后貌似是相邻的两两先进行比赛，然后问你谁最终胜出的概率最高

2的n次个球队，所以n轮就能有人最终胜出，所以只要算每轮，他赢得概率是多少，他需要战胜上一轮对面的每个对手

dp[j][i]+=dp[j][i-1]*dp[k][i-1]*p[j][k];

AC代码：http://paste.ubuntu.net/15243241/


hdu 4405
飞行棋，倒着概率dp求期望
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15243498/

poj 3744
好像是说你一次走1一步的概率是p，两步的概率是1-p,然后给你几个地雷的位置，问你从1开始走到安全的概率
先给地雷排序，如果有两个连在一起的就是0，然后如果没有连在一起的，那么就从最后一个雷的后面一格开始算，假设从这个往1开始走，然后这个地方安全的概率是1，然后走过这个雷，概率是1-p，再前面一格是p（1-p），然后因为数据很大，不能直接推dp[i]=pdp[i+1]+(1-p)dp[i+2];所以就用矩阵快速幂搞一下就好了，注意点细节就好了
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333587/

zoj 3329

题意：有三个骰子，分别有k1,k2,k3个面。
每次掷骰子，如果三个面分别为a,b,c则分数置0，否则加上三个骰子的分数之和。
当分数大于n时结束。求游戏的期望步数。初始分数为0

设dp[i]表示达到i分时到达目标状态的期望，pk为投掷k分的概率，p0为回到0的概率
则dp[i]=∑(pk*dp[i+k])+dp[0]*p0+1;
都和dp[0]有关系，而且dp[0]就是我们所求，为常数
设dp[i]=A[i]*dp[0]+B[i];
代入上述方程右边得到：
dp[i]=∑(pk*A[i+k]*dp[0]+pk*B[i+k])+dp[0]*p0+1
=(∑(pk*A[i+k])+p0)dp[0]+∑(pk*B[i+k])+1;
明显A[i]=(∑(pk*A[i+k])+p0)
B[i]=∑(pk*B[i+k])+1
先递推求得A[0]和B[0].
那么  dp[0]=B[0]/(1-A[0]);

复制kuangbin大神的题解，这种有环的期望问题一般用高斯消元，但是这题只有和dp[0]有环，并且求的就是dp[0]，所以只要迭代就行，先列出dp[i]的式子，然后假设dp[i]为dp[0]的函数，然后带入dp[i+k]，找到系数之间的关系就行了，这种题目第一次做完之后还是没有立马掌握
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333652/

hdu 4035

dp求期望的题。
题意：
有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，
从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
2.找到出口，走出迷宫 （概率为ei）
3.和该点相连有m条边，随机走一条
求：走出迷宫所要走的边数的期望值。

设 E[i]表示在结点i处，要走出迷宫所要走的边数的期望。E[1]即为所求。

叶子结点：
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)*(E[father[i]] + 1);
= ki*E[1] + (1-ki-ei)*E[father[i]] + (1-ki-ei);

非叶子结点：（m为与结点相连的边数）
E[i] = ki*E[1] + ei*0 + (1-ki-ei)/m*( E[father[i]]+1 + ∑( E[child[i]]+1 ) );
= ki*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei)/m*∑(E[child[i]]) + (1-ki-ei);

设对每个结点：E[i] = Ai*E[1] + Bi*E[father[i]] + Ci;

对于非叶子结点i，设j为i的孩子结点，则
∑(E[child[i]]) = ∑E[j]
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[father[j]] + Cj)
= ∑(Aj*E[1] + Bj*E[i] + Cj)
带入上面的式子得
(1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj)*E[i] = (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)*E[1] + (1-ki-ei)/m*E[father[i]] + (1-ki-ei) + (1-ki-ei)/m*∑Cj;
由此可得
Ai =        (ki+(1-ki-ei)/m*∑Aj)   / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Bi =        (1-ki-ei)/m            / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);
Ci = ( (1-ki-ei)+(1-ki-ei)/m*∑Cj ) / (1 - (1-ki-ei)/m*∑Bj);

对于叶子结点
Ai = ki;
Bi = 1 - ki - ei;
Ci = 1 - ki - ei;

从叶子结点开始，直到算出 A1,B1,C1;

E[1] = A1*E[1] + B1*0 + C1;
所以
E[1] = C1 / (1 - A1);
若 A1趋近于1则无解...

这题就是叶子节点和分支节点要分开讨论，然后从叶子开始往根走，按照上面的递推一步步搞，刚推了一遍，推对了，不过还是很烦啊orz
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333722/

概率dp好难，有的是难以找到转移，有的是像这种迭代的难化简。仍需努力和多练啊，留几个难题以后做

/************************************************************************高斯消元*****************************************************************************************************/

高斯消元有大概三种类型：开关问题，同余方程，数学期望
开关问题就是最常见的，翻转啊，开灯关灯啊，就0，1两种状态，然后一般会有好几种题型
我的模板矩阵都是从0存到n-1的，然后传递过去参数是n和m
开关问题模板：http://paste.ubuntu.net/15333755/
同余方程模板：http://paste.ubuntu.net/15333757/
数学期望模板：http://paste.ubuntu.net/15333758/

poj 1830
求有解的情况下有多少种方法
先套高斯消元的模板，然后得到有几个按钮是必须为1，还有一些自由变元，自由变元的个数x，(1<<x)就是解的个数了
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333761/

poj 3185
这题求解灯全部关掉的情况下， 需要操作的最少的开关
也是套模板，然后check自由变元，把某些自由变元置为1的时候，需要翻的个数，找到最小即可
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333774/

poj 2065
这题是给你个公式f(k)，然后给你n个变量a0....an-1
然后公式是每个变量的参数是k^i，,k是这会是第几个字符，然后f(k)=s[k]-‘a'+1，如果s[k]==’*'，f(k)=0；
然后运算结果都要mod p，所以套一下同余方程的模板就好了，同余方程后面还要用到求解逆元（因为要除），所以套用了exgcd
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333796/

hdu 3949
这题给你n个数，然后问你这些数随便异或，可以得到一些数，问你得到的数里面第k小的是多少
这题和CCPC的E题很像，至今难忘，因为当时不会做，其实这题是把每个数的每位看成矩阵然后高斯消元搞，然后有些位必为1，怎么说呢，不造这个怎么叫，然后如果有cnt个位为1，就可以得到(1<<cnt)种答案，不过如果cnt>=n的话，得到的答案要-1，因为必须取，加上每位都有1，所以不可能得到所有1都不取的结果，然后就是输入k，然后判断加构造这个答案了，如果上面cnt<n了，k也要-1，然后因为可以取到0，然后看k里面的0和1的分布，把对应位的元素异或起来
这样：
if(k>tmp) printf("-1\n");

else{

    if(cnt<n) k--;

    for(int i=0;i<cnt;i++){

        if(k&(1LL<<i)) ans^=a[cnt-i];

    }

    printf("%I64d\n",ans);

}
这题十分的orz，所以必须是做成模版了，虽然其实原理和开关问题差不多
AC代码：http://paste.ubuntu.net/15333820/

poj 1222
这题是翻一块，可以翻动周围4个，问你需要翻哪些，才能得到全0的（或者全1，记不得了）
也是开关问题啊就是构造矩阵的时候要考虑边上的
还有就是开关问题的模板一定要用上面的，从0开始然后判断i!=r，年神开头写的模板不对
不贴代码了，水题

高斯消元暂时没有学的很深，就了解了模板和一些简单的题，还有就是那个ccpc的E题，好好燃了