【BZOJ 2149】 拆迁队

题解

先来确认一下题意。。

注意题目是说把某些位置上的数“改”成其他数，而不是把数“删”去。。换句话说题目求的不是简单的最长上升序列。。。

确认完题意后，第一问即是求d[i](其中d[i]=a[i]−i)的最长不下降序列。

f[i]=max{f[j]}+1

其中j满足j<i,d[j]<d[i]

(这里有个小坑，到d[i]<0时，f[i]实际为-INF)

第二问可以简单的得到一个递推式：

g[i]=min{d[j]∗i+g[j]−A[j]∗j−A[j]+j×(j+1)2}+i×(i−1)2+A[i]+B[i]

其中j满足j<i,f[j]=f[i]−1,d[j]<d[i]

观察到这个方程有个强条件：f[j]=f[i]−1，故我们按照f值排序分类处理所有g[i]

接下来分为两种思路：

第一种想法是：

观察到，对于不同的f值，d[i]满足i<j,d[j]>d[i](否则就更新了。。)，对比g的递推式中，−d[j]即为单调递增，故可以简单的用单调队列维护。

所以按照f第一关键字i第二关键字排序处理，入

队的时候满足一下凸包性质，从右向左删点

更新答案时从左向右删点(因为i也是单调递增的)，找到极值即可。

然而注意到这里还有一个d[j]<d[i](注意到虽然在相同f情况下，g是递减的，但是不同f则不然)，我们直接在更新答案时一并删去即可。(更优美的是，因为d是单调的，所以也只需要从左向右删即可)

上面做法是对的吗？几乎是对的，但有个致命漏洞。。。注意到在凸包上删点这个操作是非常“危险”的。因为，删去以后，可能原来因为“凸性”而被删去的点会“复活”。

举个例子来说，ABC这三个点，B因为凸性被AC删去，但是在更新答案时，A因为d的条件而被删，此时B就又重新回到了凸包上。

解决方法是：鉴于求解的点集一定是连续的一段，我们把整个点集用线段树维护，维护的内容是一个凸包。这样子，每次添加相当于在最右边加入一个点，维护即可。询问时找到满足d的区间，在线段树上找即可。

这里贴一下做到“几乎是对的”那一步的程序。。(这程序在清橙上交还能得90分。。果然骗分大法好。。)

第二种想法是：

直接把它看成两个不相干的“条件”。。

鉴于建凸包的便利性，我们需要把d值排序。

那么一个经典的分治思想即可运用。

1. 把这一轮要更新与被更新的点染上黑白色，整体按i排序。带入分治处理

2. 分治处理左半、右半。

3. 对左右两边按照d值归并排序，同时，对左边的黑点建凸包，更新右边的白点。

这中间有几个坑(其实主要原因是前一个想法影响太大。。导致做第二个想法的时候思路有些混乱了。。)

1. 请注意，这时的d是从小到大的，而不是如前面的从大到小，所以判凸性那边要反过来。。。(类此把x轴转向了)

2. 请注意，这时的i是乱序的。因为这时的i只满足“整体相对有序”，所以说，判答案的时候不能简单地从左往右做，而应该在凸包上二分找答案。。

3. 然后是我的一个坏习惯。。当二分左开右闭换成左闭右开的时候，注意R=M要换成L=M。。。。(着急的时候会忘了。。)

4. 注意二分的时候，点集为空的判断。

code

先上AC程序

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

const int maxn=100010;

bool updmx(int &a,int b){ return a<b ? a=b,1 : 0; }
bool updmi(LL &a,LL b){ return a>b ? a=b,1 : 0; }

int n;
int A[maxn],B[maxn],d[maxn];
int f[maxn]; LL g[maxn];
int gN;

struct Com{
int i,t;
bool operator<(const Com& B)const{
return i<B.i || (i==B.i && t<B.t);
}
} com[maxn];
int comN;

LL calc(int i,int j){
if(g[j]>=INF)return INF;
//  printf("%lld\n",((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)+(LL)d[j]*i+(LL)i*(i-1)/2+A[i]+B[i]);
return ((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)+(LL)d[j]*i+(LL)i*(i-1)/2+A[i]+B[i];
}
double Cross(int i,int j,int k){
/*
(((-d[j])-(-d[i])),(((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2)))
(((-d[k])-(-d[i])),(((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2)))
*/
//  printf("%d %lld\n",(-d[i]),((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2));
//  printf("%d %lld\n",(-d[j]),((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2));
//  printf("%d %lld\n",(-d[k]),((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2));

return ((-d[j])-(-d[i]))*(((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))
-(((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))*(((-d[k])-(-d[i])))>0;

/*  return
(long double)((((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2))-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))/((-d[j])-(-d[i]))<
(long double)((((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2))-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))/((-d[k])-(-d[i]));
*/
}

int Q[maxn]; int ql,qr;

int findj(int I,int L,int R){
if(!(L<R && calc(I,Q[L+1])-calc(I,Q[L])<0))return L;
while(L+1<R){
int M=(L+R)>>1;
if(calc(I,Q[M+1])-calc(I,Q[M])<0)L=M;else R=M;
}
return L+1;
}
void dfs(int l,int r){
if(l+1==r)return;
int m=(l+r)>>1;
dfs(l,m);dfs(m,r);

static Com tmp[maxn];
ql=0,qr=0;
for(int i=l,j=m,p=l;i<m || j<r;){
if(i<m && (!(j<r) || d[com[i].i]<=d[com[j].i])){
if(com[i].t==0){
while(qr-ql>=2 && Cross(Q[qr-2],Q[qr-1],com[i].i))
--qr;
Q[qr++]=com[i].i;
}
tmp[p++]=com[i++];
}else{
if(com[j].t==1){
if(qr-ql>=1){
int x=findj(com[j].i,ql,qr-1);
updmi(g[com[j].i],calc(com[j].i,Q[x]));
}
}
tmp[p++]=com[j++];
}
}
for(int i=l;i<r;++i)com[i]=tmp[i];
}

vector<int> Vec[maxn];
void solve(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",A+i), d[i]=A[i]-i;
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",B+i);

int ans0=0; LL ans1=INF;
g[f[0]=0]=0; gN=1;
Vec[0].push_back(0);
for(int i=1;i<=n;++i)if(d[i]>=0){
int x=upper_bound(g,g+gN,d[i])-g;
if(x==gN)++gN;
updmx(ans0,f[i]=x); g[x]=d[i];

Vec[f[i]].push_back(i);
}

memset(g,0x3f,sizeof g); g[0]=0;
for(int x=1;x<=ans0;++x){
comN=0;
for(int i=0,j=0;i<Vec[x-1].size() || j<Vec[x].size();){
if(i<Vec[x-1].size() && (!(j<Vec[x].size()) || Vec[x-1][i]<Vec[x][j]))
com[comN++]=(Com){Vec[x-1][i++],0};
else
com[comN++]=(Com){Vec[x][j++],1};
}
dfs(0,comN);
}
for(int i=0;i<=n;i++)if(f[i]==ans0) updmi(ans1,g[i]+(LL)(n-i)*A[i]+(LL)(n-i)*(n-i+1)/2);

//  for(int i=0;i<=n;i++)printf("%d %lld\n",i,g[i]);

cout<<ans0<<' '<<ans1<<endl;
//  printf("%d %lld\n",ans0,ans1);
}

int main(){
//  freopen("in.txt","r",stdin);
//  freopen("out_2.txt","w",stdout);
solve();
//  for(;;);
return 0;
}

再上那个“几乎是对的程序”。。。(那坑比错调了我半晌。。(果然没想清楚瞎搞会很悲催))

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

const int maxn=100010;

bool updmx(int &a,int b){ return a<b ? a=b,1 : 0; }
bool updmi(LL &a,LL b){ return a>b ? a=b,1 : 0; }

int n;
int A[maxn],B[maxn],d[maxn];
int f[maxn]; LL g[maxn];
int gN;

struct Com{
int x,i;
bool operator<(const Com& B)const{
return x<B.x || (x==B.x && i<B.i);
}
} com[maxn];
int comN;

LL calc(int i,int j){
if(g[j]>=INF)return INF;
return ((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)+(LL)d[j]*i+(LL)i*(i-1)/2+A[i]+B[i];
}
double Cross(int i,int j,int k){
/*
(((-d[j])-(-d[i])),(((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2)))
(((-d[k])-(-d[i])),(((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2)))
*/
/*  printf("%d %lld\n",(-d[i]),((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2));
printf("%d %lld\n",(-d[j]),((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2));
printf("%d %lld\n",(-d[k]),((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2));
*/
return ((-d[j])-(-d[i]))*(((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))
-(((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2)-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))*(((-d[k])-(-d[i])))<0;

/*  return
(long double)((((LL)g[j]-(LL)A[j]*j-A[j]+(LL)j*(j+1)/2))-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))/((-d[j])-(-d[i]))>
(long double)((((LL)g[k]-(LL)A[k]*k-A[k]+(LL)k*(k+1)/2))-((LL)g[i]-(LL)A[i]*i-A[i]+(LL)i*(i+1)/2))/((-d[k])-(-d[i]));
*/
}
int Q[maxn]; int ql,qr;
void solve(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",A+i), d[i]=A[i]-i;
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",B+i);

int ans0=0; LL ans1=INF;
g[f[0]=0]=0; gN=1;
comN=0; com[comN++]=(Com){0,0};
for(int i=1;i<=n;++i)if(d[i]>=0){
int x=upper_bound(g,g+gN,d[i])-g;
if(x==gN)++gN;
updmx(ans0,f[i]=x); g[x]=d[i];

com[comN++]=(Com){f[i],i};
}
sort(com,com+comN);
memset(g,0x3f,sizeof g); g[0]=0;
for(int l=0,m=0,r;m<comN;l=m,m=r){
for(m=l+1;m<comN && com[m].x==com[l].x;++m);
for(r=m+1;r<comN && com[r].x==com[m].x;++r);
ql=0,qr=0;
for(int i=m,j=l;i<r;){
if(!(j<m) || com[i].i<com[j].i){
while(qr-ql>=1 && d[Q[ql]]>d[com[i].i])++ql;
while(qr-ql>=2 && calc(com[i].i,Q[ql])>calc(com[i].i,Q[ql+1]))++ql;
if(qr-ql>=1) g[com[i].i]=calc(com[i].i,Q[ql]);
//              for(int pp=qr-2;pp<qr;++pp)printf("%lld ", calc(com[i].i,Q[pp])); putchar('\n');
if(com[i].x==ans0) updmi(ans1,g[com[i].i]+(LL)(n-com[i].i)*A[com[i].i]+(LL)(n-com[i].i)*(n-com[i].i+1)/2);
++i;
}else{
while(qr-ql>=2 && Cross(Q[qr-2],Q[qr-1],com[j].i))--qr;
Q[qr++]=com[j].i;
++j;
}
}
}
//  for(int i=0;i<=n;i++)printf("%d %lld\n",i,g[i]);

cout<<ans0<<' '<<ans1<<endl;
//  printf("%d %lld\n",ans0,ans1);
}

int main(){
//  freopen("in.txt","r",stdin);
//  freopen("out_2.txt","w",stdout);
solve();
//  for(;;);
return 0;
}