矩形嵌套（最小字典序）—DAG动态规划问题

初步学习DAG(有向无环图dp)

问题：

      

描述 有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

输入第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，

每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)

随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽输出每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行样例输入

1
10
1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2

样例输出

5

分析：

     矩形之间的"可嵌套"关系是一个典型的二元关系，二元关系可以用图来建模。如果矩形X可以嵌套在矩形Y里，我们就从X到Y连一条有向边。这个有向图是无环的，因为一个矩形无法直接或间接地嵌套在自己的内部。换句话说，它是一个DAG。这样，我们的任务便是求DAG上的最长路径。

代码：

<span style="font-size:24px;">#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
#include"algorithm"
#include"string.h"
#include"math.h"
using namespace std;
const int maxn=1005;
int g[maxn][maxn];
int maxx[maxn];//maxn[i] 表示以i为起点，嵌套矩形最大值
<span style="color:#ff0000;">//主要转移方程：   d[i]=max(d[j]+1) j=1,2...n;j不等於i 表示d[i]以i为起点最大嵌套的长度</span>
int path_all[maxn]; //最长路径所有解
int n;
struct node
{
//矩形的数据结构，长、宽
int length;
int width;
}rec[maxn];
void Build_g()  //建立图
{
memset(g,0,sizeof(g));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i!=j&&rec[i].width<rec[j].width&&rec[i].length<rec[j].length)
g[i][j]=1;//表示矩形i能嵌套在j
}
}
void show()
{//确保建立图正确  DAG 有向无环图
printf("构建的图如下:\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
printf("%d ",g[i][j]);
printf("\n");
}
}
int dp(int i)
{//记忆化搜索
int &ans=maxx[i];
if(ans>0)  return ans; //表示已经找过
ans=1;  //注意
for(int j=0;j<n;j++)
if(g[i][j]==1)
ans=max(ans,dp(j)+1);
return ans;
}
void Print_max(int i)//最长路径 字典序最小
{
printf("%d ",i);
for(int j=0;j<n;j++)//从最小的j开始找，确保最小
if(g[i][j]==1&&maxx[i]==maxx[j]+1)
{
Print_max(j);
break;
}
}
void Print_all(int i,int len,int ans)  //最长路径的所有解
//路径ans的起点i,已经遍历长的len
{
path_all[len]=i;
if(len==ans-1)
{//输出
for(int i=0;i<=len;i++)
printf("%d ",path_all[i]);
printf("\n");
return ;
}
for(int j=0;j<n;j++)
if(g[i][j]==1&&maxx[i]==maxx[j]+1)
Print_all(j,len+1,ans);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&rec[i].width,&rec[i].length);//预处长方形理宽小于长
rec[i].length=max(rec[i].width,rec[i].length);
rec[i].width=min(rec[i].width,rec[i].length);
}
Build_g();
show();
memset(maxx,0,sizeof(maxx));
int ans=0,pos_max=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(dp(i)>ans)
{
ans=dp(i);
pos_max=i;
}
}
printf("各个节点到的最长路径：\n");
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",maxx[i]);
printf("\n");
printf("%d \n",ans);
printf("最长路径所有解：\n");
Print_all(pos_max,0,ans);
//printf("最长路径字典序最小解：\n");
//Print_max(pos_max);
return 0;
}</span>

另一种解法（类似单调上升序列）

<span style="font-size:24px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct ans{
int x;
int y;
};
struct ans a[1001];
int dp[1001];

bool cmp(struct ans a,struct ans b)
{
if(a.x <= b.x) return 1;
else if(a.x == b.x && a.y < b.y)
return 1;
else return 0;
}

bool max(struct ans m,struct ans n)
{
if(m.x < n.x && m.y < n.y) return 1;
else return 0;
}

int main()
{
int n,m,i,j,k;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d",&m);
for(i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
if(a[i].x > a[i].y)
{
int tmp = a[i].x;
a[i].x = a[i].y;
a[i].y = tmp;
}
}
sort(a,a+m,cmp);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i = 1; i < m; i++)
{
for(j = 0; j <= i; j++)
{
if(max(a[j],a[i])&&dp[i] < dp[j] + 1)
{
dp[i] = dp[j] + 1;
}
}
}
int max = dp[0];
for(i = 0; i < m; i++)
{
if(max < dp[i])
max = dp[i];
}
printf("%d\n",max+1);
}
return 0;
}</span>