ACM数论之旅9---中国剩余定理(CRT)(壮哉我大中华╰(*°▽°*)╯)
2016-02-18 21:58
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中国剩余定理,又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ
能求解什么问题呢?
问题:
一堆物品
3个3个分剩2个
5个5个分剩3个
7个7个分剩2个
问这个物品有多少个
解这题,我们需要构造一个答案
我们需要构造这个答案
5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 1
3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 1
3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 1
这3个式子对不对,别告诉我逆元你忘了(*´∇`*),忘了的人请翻阅前几章复习
然后两边同乘你需要的数
2 * 5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 2
3 * 3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 3
2 * 3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 2
令
a = 2 * 5*7*inv(5*7, 3)
b = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)
c = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)
那么
a % 3 = 2
b % 5 = 3
c % 7 = 2
其实答案就是a+b+c
因为
a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数,也是7的倍数
b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数,也是7的倍数
c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数,也是5的倍数
所以
(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2
(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3
(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2
你看你看,答案是不是a+b+c(。・ω・)ノ゙,完全满足题意
但是答案,不只一个,有无穷个,每105个就是一个答案(105 = 3 * 5 * 7)
根据计算,答案等于233,233%105 = 23
如果题目问你最小的那个答案,那就是23了
以下抄自百度百科
中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:
View Code
你看,全是我的模板,套来套去
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
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能求解什么问题呢?
问题:
一堆物品
3个3个分剩2个
5个5个分剩3个
7个7个分剩2个
问这个物品有多少个
解这题,我们需要构造一个答案
我们需要构造这个答案
5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 1
3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 1
3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 1
这3个式子对不对,别告诉我逆元你忘了(*´∇`*),忘了的人请翻阅前几章复习
然后两边同乘你需要的数
2 * 5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 2
3 * 3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 3
2 * 3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 2
令
a = 2 * 5*7*inv(5*7, 3)
b = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)
c = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)
那么
a % 3 = 2
b % 5 = 3
c % 7 = 2
其实答案就是a+b+c
因为
a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数,也是7的倍数
b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数,也是7的倍数
c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数,也是5的倍数
所以
(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2
(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3
(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2
你看你看,答案是不是a+b+c(。・ω・)ノ゙,完全满足题意
但是答案,不只一个,有无穷个,每105个就是一个答案(105 = 3 * 5 * 7)
根据计算,答案等于233,233%105 = 23
如果题目问你最小的那个答案,那就是23了
以下抄自百度百科
中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<LL, LL> PLL; LL a[100000], b[100000], m[100000]; LL gcd(LL a, LL b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; } void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} else{ ex_gcd(b, a % b, y, x, d); y -= x * (a / b); } } LL inv(LL t, LL p){//如果不存在,返回-1 LL d, x, y; ex_gcd(t, p, x, y, d); return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1; } PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 LL x = 0, m = 1; for(int i = 0; i < n; i ++) { LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a); if(b % d != 0) return PLL(0, -1);//答案,不存在,返回-1 LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d); x = x + m*t; m *= M[i]/d; } x = (x % m + m ) % m; return PLL(x, m);//返回的x就是答案,m是最后的lcm值 } int main(){ int n; while(scanf("%d", &n) != EOF){ for(int i = 0; i < n; i ++){ a[i] = 1; scanf("%d%d", &m[i], &b[i]); } PLL ans = linear(a, b, m, n); if(ans.second == -1) printf("-1\n"); else printf("%I64d\n", ans.first); } }
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