KM算法求带权二分图的最大匹配（完备匹配）

1.基础知识普及

二分图的概念

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊 模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则图G成为二分图。

通俗来讲，二分图指的是这样一种图：其所有的顶点分成两个集合M和N，其中M或N中任意两个在同一集合中的点都不相连。

二分图匹配

是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，并且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫做二分图的匹配，所有的匹配中，边数最多、权值之和最大的那个匹配，叫做最大匹配。

完全匹配

如果一个匹配中，图中的每一个顶点都和图 中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配 完全匹配， 完全匹配 也称作完备匹配。

2.基本算法

二分图如果是没有权值的，求最大匹配。则是用匈牙利算法求最大匹配。如果带了权值，求最大或者最小权匹配，则必须用KM算法。

其实最大和最小权匹配都是一样的问题。只要会求最大匹配，如果要求最小权匹配，则将权值取相反数，再把结果取相反数，那么最小权匹配就求出来了。

2.1 匈牙利算法

2.2 KM算法

KM算法用来解决最大权匹配问题： 在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。也就是最大权匹配一定是完备匹配。如果两边的点数相等则是完美匹配。如果点数不相等，其实可以虚拟一些点，使得点数相等，也成为了完美匹配。最大权匹配还可以用最大流去解决

Kuhn－Munkras算法流程：

　　(1)初始化可行顶标的值

　　(2)用匈牙利算法寻找完备匹配

　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值

　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止　

// GY0218.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define MAX 100

int n;
int weight[MAX][MAX];           //权重
int lx[MAX],ly[MAX];                //定点标号
bool sx[MAX],sy[MAX];          //记录寻找增广路时点集x，y里的点是否搜索过
int match[MAX];                       //match[i]记录y[i]与x[match[i]]相对应

bool search_path(int u) {          //给x[u]找匹配,这个过程和匈牙利匹配是一样的
sx[u]=true;
for(int v=0; v<n; v++){
if(!sy[v] &&lx[u]+ly[v] == weight[u][v]){
sy[v]=true;
if(match[v]==-1 || search_path(match[v])){
match[v]=u;
return true;
}
}
}
return false;
}

int Kuhn_Munkras(bool max_weight){
if(!max_weight){ //如果求最小匹配，则要将边权取反
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
weight[i][j]=-weight[i][j];
}
//初始化顶标，lx[i]设置为max(weight[i][j] | j=0,..,n-1 ), ly[i]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
ly[i]=0;
lx[i]=-0x7fffffff;
for(int j=0;j<n;j++)
if(lx[i]<weight[i][j])
lx[i]=weight[i][j];
}

memset(match,-1,sizeof(match));
//不断修改顶标，直到找到完备匹配或完美匹配
for(int u=0;u<n;u++){   //为x里的每一个点找匹配
while(1){
memset(sx,0,sizeof(sx));
memset(sy,0,sizeof(sy));
if(search_path(u))       //x[u]在相等子图找到了匹配,继续为下一个点找匹配
break;
//如果在相等子图里没有找到匹配，就修改顶标，直到找到匹配为止
//首先找到修改顶标时的增量inc, min(lx[i] + ly [i] - weight[i][j],inc);,lx[i]为搜索过的点，ly[i]是未搜索过的点,因为现在是要给u找匹配，所以只需要修改找的过程中搜索过的点，增加有可能对u有帮助的边
int inc=0x7fffffff;
for(int i=0;i<n;i++)
if(sx[i])
for(int j=0;j<n;j++)
if(!sy[j]&&((lx[i] + ly [j] - weight[i][j] )<inc))
inc = lx[i] + ly [j] - weight[i][j] ;
//找到增量后修改顶标，因为sx[i]与sy[j]都为真，则必然符合lx[i] + ly [j] =weight[i][j]，然后将lx[i]减inc，ly[j]加inc不会改变等式，但是原来lx[i] + ly [j] ！=weight[i][j]即sx[i]与sy[j]最多一个为真，lx[i] + ly [j] 就会发生改变，从而符合等式，边也就加入到相等子图中
if(inc==0)  cout<<"fuck!"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
if(sx[i])   //
lx[i]-=inc;
if(sy[i])
ly[i]+=inc;
}
}

}
int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(match[i]>=0)
sum+=weight[match[i]][i];

if(!max_weight)
sum=-sum;
return sum;

}
int main(){

scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&weight[i][j]);

printf("%d\n",Kuhn_Munkras(1));
system("pause");
return 0;
}