Sparse Table算法 - RMQ问题的简单高效算法

Sparse Table算法是用来解决一类RMQ问题的O(nlog2n)的算法，而且代码非常好写，在本质上是一个动态规划，写起来其实也就是几十行。那么在这里的RMQ问题是什么呢？RMQ问题，中文名应该是范围（区间）最（小）值问题，简单描述一下，就是先给出一个序列，然后不断求若干个区间中的一个最值。比如说最小值，最大值之类。像堆那样的数据结构能解决的问题是整个序列的最值问题，而RMQ问题则是序列一段的最值，万万不能弄混了。 Sparse Table算法是一种动态规划算法，精髓就是动态规划，再加上了一些分治，能够做到O(nlog2n)预处理，O(log2n)单次查询的神级复杂度，甚至可以和线段树比肩，而且要注意的是常数要小很多！ 动态规划的方程如下：设f[i][j]表示从i开始，后2^j个数中的最值，则f[i][j]=compare{f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1]}。 其中compare{ , }函数就是所谓的最值函数（我定义的），比如说我们要找最小值，则compare{ , }=min{ , }，最大值则是compare{ , }=max{ , }。很容易发现，这个动态规划的本质，就是分治！将一个整的区间分成两个较小的区间，又能够看出在一个长度为n的序列中，2^j<=n，则j最多是log2(n)+1。而i总共有n种可能的值，则总的预处理复杂度就是O(nlog2n)。 那么最后的值怎么达到呢？假如我们要求[begin,end]区间内的最小值，则在预处理之后分解一下end-begin的二进制，则就可以将[begin,end]的最小值问题分解成若干个长度为2^j的区间了（j为相应的值）。 这就是Sparse Table算法，可算是简洁了吧？但是下面让我们剖析一下其的本质。 Sparse Table算法其实是将一个大的区间不断二分，那我们如果以记忆化搜索的角度，看一下求[1,n]的最小值呢？假设n=16，那么中间涉及的查询有：
1 [1,16]2 [1,8] [9,16]3 [1,4] [5,8] [9,12] [13,16]4 [1,2] [3,4] [5,6] [7,8] [9,10] [11,12] [13,14] [15,16]5 [1,1] [2,2] [3,3] [4,4] [5,5] [6,6] [7,7] [8,8] [9,9] [10,10] [11,11] [12,12] [13,13] [14,14] [15,15] [16,16]
所以……这个算法的本质，就是一棵线段树的简化查询算法。而这也是我在学了一段时间线段树后的想法，那就是为什么好像什么东西都和线段树有关……RMQ问题的这个解法，胜者树，二分搜索，似乎都有一点线段树的思想。但是线段树其实也应该说是集合了这些思想，不然怎么会能够以比平衡树短（好吧如果你平衡树打得熟的话这句话请无视）的代码实现比平衡树更为快的时间复杂度呢（虽说功能没那么多）？