CF611D 【分割字符串使得形成的数字数组呈递增状态】的方法数

这题比较巧妙的是运用最长公共前缀长度简化问题以及运用sum数组缩减复杂度。注意要求分割后所有数字不得出现前导零。

题解：点击打开链接

没用sum数组的超时代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int lcp[5001][5001];
ll dp[5001][5001];
int main(){
int n;
cin>>n;
string x;
cin>>x;
x='0'+x;
for(int i=n;i>=1;--i){
for(int j=n;j>i;--j){
if(x[i]==x[j])
lcp[i][j]=lcp[i+1][j+1]+1;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
dp[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){             //这个子串的结尾位置
for(int j=1;j<=i;++j){         //dp[i][j]:以【从x[i]往前j长度的子串】结尾的可能数
int p=i-j+1;               //这个子串的开头位置
if(x[p]=='0') continue;
for(int k=p-1;k>=max(p-j,0);--k){ //枚举上一个子串的开头位置(上一个一定不能比这个长)
char a=x[k+lcp[k][p]],b=x[p+lcp[k][p]];
if(k!=p-j||(lcp[k][p]<j&&a<b))
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[p-1][p-k])%mod;
}
}
}
ll s=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
s=(s+dp
[i])%mod;
}
cout<<s<<endl;
return 0;
}

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int lcp[5001][5001];
ll dp[5001][5001];
ll sum[5001][5001];
int main(){
int n;
cin>>n;
string x;
cin>>x;
x='0'+x;
for(int i=n;i>=1;--i){
for(int j=n;j>i;--j){
if(x[i]==x[j])
lcp[i][j]=lcp[i+1][j+1]+1;
}
}
for(int i=0;i<=n;++i)
sum[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){             //这个子串的结尾位置
for(int j=1;j<=i;++j){         //dp[i][j]:以【从x[i]往前j长度的子串】结尾的方法数
int p=i-j+1;               //这个子串的开头位置
if(x[p]=='0') continue;
//			for(int k=p-1;k>=max(p-j,0);--k){ //枚举上一个子串的开头位置(上一个一定不能比这个长)
//				char a=x[k+lcp[k][p]],b=x[p+lcp[k][p]];
//				if(k!=p-j||(lcp[k][p]<j&&a<b))
//					dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[p-1][p-k])%mod;
//			}
dp[i][j]=sum[p-1][j-1]; //sum[i][j]表示符合当前【最后一个的长度小于j】的方法数（上一个比这个短当然较小）

//考虑完上一个比这个短的情况，接下来只需要考虑长度相等的情况
int k=p-j;
if(k<1)
continue;
char a=x[k+lcp[k][p]],b=x[p+lcp[k][p]];
if(lcp[k][p]<j&&a<b)
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[p-1][j])%mod;
}
for(int j=1;j<=n;++j){ //这里注意是【<=n】而不是【<=i】，因为dp[i][j]=sum[p-1][j-1];会用到之前的状态(p-1)，j-1可能大于p-1
sum[i][j]=(sum[i][j-1]+dp[i][j])%mod;
}
}
ll s=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
s=(s+dp
[i])%mod;
}
cout<<s<<endl;
return 0;
}

情况里可以出现前导零，即没有考虑到【要求分割后所有数字不得出现前导零】的代码（读漏题目的后果）：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int lcp[5001][5001];
ll dp[5001][5001];
int main(){
int n;
cin>>n;
string x;
cin>>x;
x='0'+x;
for(int i=n;i>=1;--i){
for(int j=n;j>i;--j){
if(x[i]==x[j])
lcp[i][j]=lcp[i+1][j+1]+1;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
dp[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){             //这个子串的结尾位置
int w=i;
for(int j=1;j<=i;++j){         //dp[i][j]:以【从x[i]往前j长度的子串】结尾的方法数
int p=i-j+1;               //这个子串的开头位置
if(x[p]!='0')
w=p;                   //这个子串的【非0】开头位置
int  h=p-1;
for(int k=p-1;k>=0;--k){   //枚举上一个子串的开头位置(上一个一定不能比这个长，错！比如0012,001比2长但比2小)
if(x[k]!='0')
h=k;               //这个子串的【非0】开头位置
char a=x[h+lcp[h][w]],b=x[w+lcp[h][w]];
if(p-h<i-w+1||(p-h==i-w+1&&lcp[h][w]<j&&a<b)) //【这个串较长】或【一样长比较公共序列后第一个不同字符】
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[p-1][p-k])%mod;
}
}
}
ll s=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
s=(s+dp
[i])%mod;
}
cout<<s<<endl;
return 0;
}