【树】【数论】[BZOJ1005][HNOI2008]明明的烦恼

题目描述

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣…… 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

样例输入

3

1

-1

-1

样例输出

2

题目解析

首先我们根据prufer数列可以知道任意一棵无根树可以表示为任意一个长度为n−2n-2的串并且有以下的性质任意一点的度为did_i那么该数字将会在数列中出现di−1d_i-1次，那么我们可以知道该数列的总长度就是sum=∑ni=1di−1sum=\sum_{i=1}^n{d_i-1}当然前提是nn个度数全部已知，那么我们已经知道了nn个点的度数，我们可以构造出多少不同的prufer数列呢可以发现答案就是(n−2)!∏ni=1(di−1)!\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}但是我们现在并不知道这么多，我们现在已知的有cntcnt个，那么我们未知的有n−cntn-cnt个，那么我们如果不管不知道的，但是现在有n−2n-2个空位所以答案是Csumn−2sum!∏ni=1(di−1)!C_{n-2}^{sum}\frac{sum!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}但是现在我们还有(n−cnt)(n-cnt)个未知那么我们的答案就是Csumn−2sum!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sumC_{n-2}^{sum}\frac{sum!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\times (n-cnt)^{n-2-sum}那么我们化简可以得到(n−2)!sum!(n−2−sum)!sum!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sum\frac{(n-2)!}{sum!(n-2-sum)!}\frac{sum!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\times (n-cnt)^{n-2-sum}(n−2)!(n−2−sum)!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sum\frac{(n-2)!}{(n-2-sum)!\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\times (n-cnt)^{n-2-sum}因为n−2n-2还是比较大所以靠分解质因数来解决高精度的问题。



关于prufer唯一性其实很好证明如果两个prufer的数列是一样的那么意味着每一个节点的每一个儿子数量相同，并且出入度和位置相同，那难道不一样么。

代码

[code]#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
int answ[MAXN+10], prime[MAXN+10], t[MAXN*10+10], d[MAXN+10];
bool notprime[MAXN+10];
void GetPrime(int Max){
    int tmp;
    for(int i=2;i<=Max;i++){
        if(!notprime[i])
            prime[++prime[0]] = i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&(tmp=prime[j]*i)<=Max;j++){
            notprime[tmp] = true;
            if(i%prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
void add(int u, int m){
    for(int i=1;i<=prime[0]&&u>1;i++){
        while(u%prime[i]==0){
            u /= prime[i];
            answ[i] += m;
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int sum=0, cnt=0, flag = 0;
    GetPrime(1000);
    int t1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d", &t1);
        d[i] = t1;
        if(t1 == 0 || t1 >= n) flag = 1;
        if(t1 == -1){
            continue;
        }else{
            cnt++;
            sum += (--t1);
            for(int j=1;j<=t1;j++)
                add(j, -1);
        }
    }
    t1 = n-2;
    for(int i=1;i<=t1;i++)
        add(i, 1);
    if(n == 1){
        if(t1 == -1) printf("1\n");
        else printf("0\n");
        return 0;
    }
    if(n == 2){
        if((d[1]==0||d[1]>1) || (d[2]==0||d[2]>1)) printf("0\n");
        else printf("1\n");
        return 0;
    }
    if(flag){
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    t1 = n-2-sum;
    for(int i=1;i<=t1;i++)
        add(i, -1);
    add(n-cnt, n-2-sum);
    t[0] = t[1] = 1;
    for(int i=1;i<=prime[0];i++){
        while(answ[i]){
            answ[i]--;
            for(int j=1;j<=t[0];j++)
                t[j] *= prime[i];
            for(int j=1;j<t[0];j++){
                t[j+1] += t[j] / 10;
                t[j] %= 10;
            }
            while(t[t[0]] >= 10){
                t[t[0]+1] = t[t[0]]/10;
                t[t[0]] %= 10;
                t[0]++;
            }
        }
    }
    for(int i=t[0];i;i--)
        printf("%d", t[i]);
    printf("\n");

    return 0;
}