递归式求解的三种方法

算法设计经常用到递归，而递归式是比较好写的，也是容易反应算法的设计思路的，我们分析含递归算法的时间复杂度就要求解递归式。

下面介绍求解递归式的三种方法，以下方法参考《算法导论》，图片来自网络。

1.主方法求解递归式

一种求解大部分递归式的公式。简洁实用，有兴趣的同学可以自己去看算法导论上的证明，这里只列举结论。

给出递归式: T(n) = a * T(n/b) + f(n) ，其中a>=1，b>1，f(n)是给定的函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式。

这种方法要记忆三种情况，


将余项f(n)与函数

进行比较， 直觉上来说两个函数的较大者决定了递归式的解，如果两个函数相当，则乘上一个对数因子logn。

这里要注意主方法不能求解的地方，所有的大于和小于都是多项式意义上的大于和小于，对于有些递归式夹在三种情况的间隙中，是无法用主方法来求解的。下面解释一下什么是多项式意义上的小于和大于：

f(x)多项式大于g(x):存在实数e>0,使得f(x)>g(x)*n^e

f(x)多项式小于g(x):存在实数e>0,使得f(x)<g(x)*n^e

举个例子，有递归式T(n) = 2T(n/2)+nlgn,

= n,nlgn/n = lgn,此时不存在e>0，使得n*lgn>n*n^e，所以就不能用主方法求解。

2.递归树求解

用主方法求解不了的递归式，我们可以用递归树来猜测解的上界，然后用代入法来证明解的正确性。递归树的求解精确度取决于你画递归树的精确度。

举例，


画出它的递归树，







这里我们把递归树扩展到T(1)的层，然后以T(1)为单位把每层的代价求和，最后就是总的代价，需要注意的是，这里需要一定的数学知识。

3.代入法

比如我们求解，递归式T(n) = 2T(n/2)+n，我们猜测解是O(nlgn),我们要寻找到一个常数c,使得T(n)<=cnlgn

即T(n) <= 2c(n/2)lg(n/2)+n <= cnlgn-cnlg2+n = cnlgn-cn+n

只要c>=1,T(n)<=cnlgn,所以我们的猜测是正确的。

要注意的是，代入法全凭经验，通常用递归树来确定上界，然后用代入法再证明。