poj 1006（中国剩余定理）

中国剩余定理：

《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

 --------这个就是传说中的“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？

那么他是怎么解决的呢？

看下面：

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、

令：5 * 7 * a % 3 = 1;  --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

        3 * 7 * b % 5 = 1;  --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

        3 * 5 * c % 7 = 1;  --------------> c  = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2  % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

同理： 要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3  % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2  % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道

（ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2


（ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3


（ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2

那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！

那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23  得解！

这道题目就是利用中国剩余定理解决的：x%23 = p, x % 28 = e, x % 33 = i;

那么令：28*33*a % 23 = 1; ---------> a = 6,  28*33*6 = 5544

      23*33*b % 28 = 1; ---------> b = 19, 23*33*19 = 14421

              23*28*c % 33 = 1; ---------> c = 2,    23*28*2 = 1288

那么 x = 5544*p + 14421*e + 1288*i，那么最后的结果是(x-d) % 21252，如果x-d < 0，还要+21252；

AC:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int mod = 21252;
int p,e,i,d;
int main()
{
//中国剩余定理
/* 33 * 28 * a % 23 = 1，得a = 6； 33 * 28 * 6 = 5544；
23 * 33 * b % 28 = 1， 得b = 19；23 * 33 * 19 = 14421；
23 * 28 * c % 33 = 1， 得c = 2； 23 * 28 * 2 = 1288。
*/
int a = 5544, b = 14421, c = 1288;
int cas = 1;
while(cin>>p>>e>>i>>d)
{
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1) break;
int x = a*p + b*e + c*i;
x = (x - d) % mod;
while(x <= 0)
x += mod;
cout<<"Case "<<cas++<<": the next triple peak occurs in "<<x<<" days."<<endl;
}
return 0;
}